Каков объем прямоугольного параллелепипеда, если площади двух его граней равны 54 см2 и 66 см2, а длина общего ребра

Egor

20

Для нахождения объема прямоугольного параллелепипеда, нам необходимо знать его площади двух граней и длину общего ребра. Давайте пошагово решим эту задачу.

Пусть стороны прямоугольного параллелепипеда обозначены как \(a\), \(b\) и \(c\), где \(a\) и \(b\) - длина и ширина параллелепипеда соответственно, а \(c\) - его высота.

У нас есть две известные площади граней: 54 см\(^2\) и 66 см\(^2\).

Площадь прямоугольника \(S = a \cdot b\), поэтому мы можем записать уравнения:

\[ab = 54 \, \text{см}^2 \quad \text{(1)}\]
\[bc = 66 \, \text{см}^2 \quad \text{(2)}\]

У нас также есть известное условие - длина общего ребра параллелепипеда. Обозначим его как \(l\).

\[l = a + b + c \quad \text{(3)}\]

Мы хотим найти объем параллелепипеда, который равен \(V = abc\).

Теперь решим эту систему уравнений.

Из уравнения (1) выразим \(a\) как \(\frac{54}{b}\) и подставим в уравнение (3):

\[\frac{54}{b} + b + c = l \quad \text{(4)}\]

Из уравнения (2) выразим \(c\) как \(\frac{66}{b}\) и подставим в уравнение (4):

\[\frac{54}{b} + b + \frac{66}{b} = l \quad \text{(5)}\]

Умножим обе части уравнения (5) на \(b\), чтобы избавиться от дробей:

\[54 + b^2 + \frac{66b}{b} = lb\]

Сокращаем дробь:

\[54 + b^2 + 66 = lb\]
\[b^2 + lb - 120 = 0\]

Теперь мы получили квадратное уравнение. Приведем его к стандартному виду:

\[b^2 + lb - 120 = 0\]
\[b^2 + lb + \left(\frac{l^2}{4} - \frac{l^2}{4}\right) - 120 = 0\]
\[\left(b + \frac{l}{2}\right)^2 - \frac{l^2}{4} - 120 = 0\]
\[\left(b + \frac{l}{2}\right)^2 = \frac{l^2}{4} + 120\]
\[\left(b + \frac{l}{2}\right)^2 = \frac{l^2 + 480}{4}\]

Раскроем скобки:

\[b + \frac{l}{2} = \pm \sqrt{\frac{l^2 + 480}{4}}\]
\[b + \frac{l}{2} = \pm \sqrt{\frac{l^2 + 480}{4}}\]
\[b = - \frac{l}{2} \pm \sqrt{\frac{l^2 + 480}{4}}\]
\[b = - \frac{l}{2} \pm \frac{\sqrt{l^2 + 480}}{2}\]
\[b = \frac{-l \pm \sqrt{l^2 + 480}}{2}\]

Так как стороны не могут иметь отрицательные значения, то мы выбираем положительное значение:

\[b = \frac{-l + \sqrt{l^2 + 480}}{2}\]

Теперь подставим это значение \(b\) в уравнение (1):

\[\left(\frac{-l + \sqrt{l^2 + 480}}{2}\right) \cdot l = 54\]

Решим это уравнение для \(l\). Умножим обе части на 2:

\[-l^2 + \sqrt{l^2 + 480} \cdot l = 108\]

Приравняем уравнение к 0:

\[l^2 - \sqrt{l^2 + 480} \cdot l + 108 = 0\]

Это уравнение квадратного типа, и мы можем использовать квадратное уравнение для решения. Однако, для упрощения вычислений, давайте воспользуемся методом подстановки. Подставим значение \(l = 2\), чтобы проверить, является ли оно корнем уравнения:

\[2^2 - \sqrt{2^2 + 480} \cdot 2 + 108 = 0\]

\[4 - \sqrt{4 + 480} \cdot 2 + 108 = 0\]

\[- \sqrt{484} \cdot 2 + 112 = 0\]

\[-22 \cdot 2 + 112 = 0\]

\[44 + 112 = 0\]

Таким образом, значение \(l = 2\) является корнем уравнения. Теперь мы можем разделить исходное уравнение на \(l - 2\), чтобы найти другой корень:

\[\frac{l^2 - \sqrt{l^2 + 480} \cdot l + 108}{l - 2} = 0\]

\[l + \sqrt{l^2 + 480} = 108\]

\[\sqrt{l^2 + 480} = 108 - l\]

Возводим обе части в квадрат:

\[l^2 + 480 = (108 - l)^2\]

\[l^2 + 480 = 108^2 - 2 \cdot 108 \cdot l + l^2\]

\[480 = 108^2 - 2 \cdot 108 \cdot l\]

Решаем полученное уравнение относительно \(l\):

\[2 \cdot 108 \cdot l = 108^2 - 480\]

\[l = \frac{108^2 - 480}{2 \cdot 108}\]

\[l = \frac{11664 - 480}{216}\]

\[l = \frac{11184}{216}\]

\[l = 51 \, \text{см}\]

Теперь, подставим найденное значение \(l\) в уравнение (1), чтобы найти значение стороны \(b\):

\[b = \frac{-l + \sqrt{l^2 + 480}}{2}\]

\[b = \frac{-51 + \sqrt{51^2 + 480}}{2}\]

\[b = \frac{-51 + \sqrt{2610}}{2}\]

\[b \approx \frac{-51 + 51.09}{2}\]

\[b \approx \frac{0.09}{2}\]

\[b \approx 0.045 \, \text{см}\]

Теперь, найдем значение стороны \(a\) с использованием уравнения (3):

\[a = l - b - c\]

\[a = 51 - 0.045 - c\]

\[a = 50.955 - c\]

У нас нет никаких дополнительных данных, чтобы найти значение стороны \(a\), так что мы не можем найти его точное значение. Тем не менее, мы можем утверждать, что объем прямоугольного параллелепипеда определен и равен:

\[V = abc = a \cdot b \cdot c = (50.955 - c) \cdot 0.045 \cdot c = 0.045c^2 - 2.3c + 0\]

Пожалуйста, обратите внимание, что итоговое значение объема будет зависеть от значения стороны \(c\). Если нам дано дополнительное условие или значение стороны \(c\), мы сможем точно определить объем прямоугольного параллелепипеда. Кроме того, для получения более точных результатов, следует указать единицы измерения для сторон и объема параллелепипеда.