Каков объем прямой призмы, основанием которой является трапеция? Площади параллельных боковых граней призмы равны

Елена

2

Для решения этой задачи нам понадобится знать формулу для объема прямой призмы. Общая формула для объема прямой призмы выглядит следующим образом:

\[ V = A \cdot h \]

где \( V \) - объем призмы, \( A \) - площадь основания, а \( h \) - высота призмы.

В данной задаче основанием прямой призмы является трапеция. Чтобы вычислить площадь основания трапеции, нам нужно знать две параллельные стороны трапеции (длины оснований) и высоту трапеции. Давайте обозначим длину первого основания как \( a \), длину второго основания как \( b \), а высоту трапеции как \( h_T \).

Таким образом, площадь основания призмы можно вычислить по формуле:

\[ A = \frac{(a + b) \cdot h_T}{2} \]

Из условия задачи известны площади двух параллельных боковых граней призмы, которые равны 8 см^2 и 12 см^2. Пусть площадь первой боковой грани равна 8 см^2, а площадь второй боковой грани равна 12 см^2. Обозначим эти площади как \( A_1 \) и \( A_2 \).

Сумма площадей двух боковых граней прямой призмы равна сумме площадей трех сторон трапеции. Таким образом, мы можем записать следующее равенство:

\[ A_1 + A_2 = a \cdot h_T + \frac{b \cdot h_T}{2} + \frac{b \cdot h_T}{2} \]

Подставляя известные значения, получаем:

\[ 8 + 12 = a \cdot h_T + \frac{b \cdot h_T}{2} + \frac{b \cdot h_T}{2} \]

Simplificando, podemos reescribir la ecuación como:

\[ 20 = a \cdot h_T + b \cdot h_T \]

Теперь мы можем решить данное уравнение относительно \( h_T \):

\[ 20 = h_T \cdot (a + b) \]

\[ h_T = \frac{20}{a + b} \]

Таким образом, мы выразили высоту трапеции \( h_T \) через известные переменные.

Итак, у нас есть формула для вычисления площади основания призмы \( A \) и выражение для высоты трапеции \( h_T \).

Теперь мы можем подставить вычисленные значения в формулу объема призмы:

\[ V = A \cdot h = \frac{(a + b) \cdot h_T}{2} \cdot h_T = \frac{(a + b) \cdot 20}{2 \cdot (a + b)} \cdot \frac{20}{a + b} = 10 \]

Таким образом, объем прямой призмы равен 10 кубическим сантиметрам.