Каков объем шара, который вписан в треугольную пирамиду, у которой сторона основания равна b, а высота пирамиды равна

Zvezdnaya_Noch

43

Для решения данной задачи, давайте определимся с тем, что такое вписанный шар и как его объем связан с параметрами треугольной пирамиды.

Вписанный шар - это шар, который помещается внутри данной фигуры таким образом, что его поверхность касается всех граней этой фигуры. Обозначим радиус вписанного шара как \(r\), а его объем — \(V\).

Для вычисления объема шара можно использовать следующую формулу:
\[ V = \frac{4}{3}\pi r^3 \]

Теперь рассмотрим треугольную пирамиду с основанием, равным \(b\), и высотой пирамиды, равной \(h\).

Для определения значения радиуса \(r\) вписанного шара, сначала найдем высоту \(h_1\) и радиус основания \(r_1\) пирамиды, которая находится над вписанным шаром.

По свойствам треугольников, из прямоугольного треугольника, образованного стороной основания пирамиды и половиной высоты \(h\), можем найти радиус основания \(r_1\) пирамиды:
\[ r_1 = \frac{b}{2h} \]

Зная радиус основания \(r_1\), можем найти высоту \(h_1\) пирамиды над вписанным шаром:
\[ h_1 = h - r_1 \]

Осталось определить радиус \(r\) вписанного шара, который будет равен высоте \(h_1\):
\[ r = h_1 = h - \frac{b}{2h} \]

Теперь, используя формулу для вычисления объема шара, подставим найденное значение радиуса \(r\) в формулу и получим окончательный ответ:
\[ V = \frac{4}{3}\pi r^3 = \frac{4}{3}\pi \left(h - \frac{b}{2h}\right)^3 \]

Таким образом, объем шара, вписанного в треугольную пирамиду с основанием длиной \(b\) и высотой \(h\), можно выразить формулой \[ V = \frac{4}{3}\pi \left(h - \frac{b}{2h}\right)^3 \]