Каков объем треугольной пирамиды, если у нее прямые углы при вершине, а длины боковых ребер равны 5,6 и 7? Как получено

Эдуард

63

Чтобы найти объем треугольной пирамиды, у которой прямые углы при вершине, и известны длины боковых ребер указанные в задаче, мы можем использовать следующую формулу объема пирамиды:

\[ V = \frac{1}{3} \times S_{\text{основания}} \times h \]

где \( S_{\text{основания}} \) - площадь основания пирамиды, а \( h \) - высота пирамиды.

В данной задаче основание пирамиды - треугольник, с прямыми углами при вершине. Чтобы найти его площадь, можно воспользоваться формулой для площади треугольника:

\[ S_{\text{треугольника}} = \frac{1}{2} \times a \times b \times \sin(C) \]

где \( a \) и \( b \) - длины сторон треугольника, а \( C \) - угол между этими сторонами.

В данной задаче длины боковых ребер треугольника равны 5, 6 и 7. Так как у нас прямоугольный треугольник, мы можем использовать теорему Пифагора, чтобы найти длину третьей стороны. В данном случае третья сторона будет гипотенузой, а 5 и 6 будут катетами. По теореме Пифагора, сумма квадратов длин катетов равна квадрату длины гипотенузы:

\[ 5^2 + 6^2 = c^2 \]

\[ 25 + 36 = c^2 \]

\[ 61 = c^2 \]

\[ c \approx 7.81 \]

Теперь у нас есть длины всех сторон треугольника: 5, 6 и 7. Также мы знаем, что прямоугольный треугольник имеет прямой угол при вершине, поэтому угол \( C \) ровно 90 градусов. Теперь мы можем вычислить площадь основания пирамиды:

\[ S_{\text{основания}} = \frac{1}{2} \times 5 \times 6 \times \sin(90) \]

Вычисляя это выражение, мы получаем:

\[ S_{\text{основания}} = \frac{1}{2} \times 5 \times 6 \times 1 = 15 \]

Теперь, когда у нас есть площадь основания, можем найти объем пирамиды:

\[ V = \frac{1}{3} \times 15 \times h \]

Осталось только найти высоту пирамиды. В данной задаче у нас прямые углы при вершине, поэтому высота будет проходить через середину гипотенузы.

Так как у нас треугольник с длинами сторон 5, 6 и 7, а 7 - это гипотенуза, то высота будет равна половине гипотенузы:

\[ h = \frac{7}{2} = 3.5 \]

Теперь мы можем рассчитать объем пирамиды:

\[ V = \frac{1}{3} \times 15 \times 3.5 \]

\[ V = 35 \]

Таким образом, объем треугольной пирамиды с прямыми углами при вершине и длинами боковых ребер 5, 6 и 7 равен 35.