Каков объем треугольной пирамиды KABC, если угол ACB равен 90°, AC равно CB, а AB равно 2⋅g? Каждое боковое ребро

Nikolay

63

Для решения этой задачи, давайте разобьем ее на более простые составляющие и последовательно найдем все необходимые значения.

Нам дана треугольная пирамида KABC, в которой угол ACB равен 90°, сторона AC равна стороне CB, а сторона AB равна 2g. Известно также, что каждое боковое ребро образует угол ϕ с плоскостью основания.

Для начала, найдем значение ϕ.
Поскольку каждое боковое ребро образует угол ϕ с плоскостью основания, а угол ACB равен 90°, то угол CAB или угол CBA равен ϕ. Так как сторона AC равна стороне CB, то у треугольника ACB также будет равные углы в вершинах. То есть, угол CAB = угол ACB = угол CBA = ϕ.

Теперь, используя найденное значение ϕ, рассчитаем объем пирамиды V.

Объем пирамиды можно выразить следующей формулой: V = (S * H) / 3,
где S - площадь основания, H - высота пирамиды.

Найдем площадь основания треугольной пирамиды. У нас есть прямоугольный треугольник АВС, где угол ACB = 90°, а BC равно AC. Здесь гипотенуза треугольника - сторона AB. Мы можем найти площадь треугольника по формуле: S = (AC * BC) / 2.
Поскольку AC = BC, можно записать S = (AC * AC) / 2.

Так как сторона AB равна 2g, а AC = BC, то AC = BC = g.
Подставим это значение в формулу для площади: S = (g * g) / 2 = g^2 / 2.

Теперь рассмотрим высоту пирамиды H, которую мы должны найти. Нам дано, что вершина пирамиды проецируется на середину гипотенузы треугольника АСВ (точка М), в точку пересечения биссектрис основания (точка І) и центр вписанной окружности треугольника (точка О).

Так как вершина K проецируется на точку М, то можно провести отрезок КМ, который будет перпендикулярен плоскости основания треугольника АВС. Данный отрезок КМ является высотой пирамиды.

Также нам дано, что точка О - центр вписанной окружности треугольника АВС, и что точка І - точка пересечения биссектрис основания. Зная это, отрезок ІО можно рассматривать как радиус вписанной окружности треугольника АВС.

Так как плоскость основания перпендикулярна высоте пирамиды КМ, а точка І находится на плоскости основания, то отрезок ІМ будет перпендикулярен отрезку ІО. Здесь отрезок ІМ также может рассматриваться как радиус вписанной окружности треугольника АВС.

Так как отрезок ІО - радиус вписанной окружности, а отрезок ІМ - половина стороны AB, то отрезок ІМ равен g.

Теперь у нас есть прямоугольный треугольник АИМ, в котором один катет равен g, а другой катет равен H (высоте пирамиды).

Используем теорему Пифагора: AB^2 = AM^2 + BM^2
(2g)^2 = g^2 + H^2
4g^2 = g^2 + H^2
3g^2 = H^2

Теперь у нас есть выражение для H. Заменим его в формуле для объема пирамиды V:
V = (S * H) / 3 = (g^2 / 2) * (3g^2) / 3 = (g^2 * g^2) / 2 = g^4 / 2

Итак, объем треугольной пирамиды KABC равен \(V = \frac{g^4}{2}\)