Каков объем треугольной призмы, если плоскость сечения проходит через ребро нижнего основания длиной 5 см и вершину

Песчаная_Змея

24

Для решения данной задачи, нам необходимо использовать формулу для объема призмы. Объем \(V\) призмы можно найти, умножив площадь основания \(B\) на высоту \(h\):

\[V = B \cdot h\]

Для начала найдем площадь основания \(B\). Так как мы имеем треугольник с сторонами 5, 12 и 13 см, то можем воспользоваться формулой Герона для нахождения площади треугольника. Формула Герона выглядит следующим образом:

\[B = \sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}\]

где \(p\) - полупериметр треугольника, а \(a\), \(b\), \(c\) - длины сторон треугольника.

Вычислим значения полупериметра \(p\):

\[p = \frac{a + b + c}{2}\]
\[p = \frac{5 + 12 + 13}{2}\]
\[p = \frac{30}{2} = 15\]

Теперь, используя формулу Герона, найдем площадь основания \(B\):

\[B = \sqrt{15(15-5)(15-12)(15-13)}\]
\[B = \sqrt{15 \cdot 10 \cdot 3 \cdot 2}\]
\[B = \sqrt{900} = 30\]

Теперь, когда у нас есть площадь основания \(B\), нам нужно найти высоту призмы \(h\). Мы знаем, что угол между плоскостью сечения и нижним основанием составляет 30 градусов. По определению, высота призмы - это расстояние между основаниями, измеренное вдоль перпендикулярного (вертикального) направления к основаниям.

Так как плоскость сечения проходит через ребро нижнего основания длиной 5 см и вершину верхнего основания, то получаем прямоугольный треугольник с катетами 5 и \(h\), и углом между этими катетами 30 градусов. Мы можем использовать тригонометрию, чтобы найти высоту \(h\):

\[\sin 30^\circ = \frac{h}{5}\]
\[\frac{1}{2} = \frac{h}{5}\]
\[h = \frac{5}{2} = 2.5\]

Теперь мы можем найти объем призмы, умножив площадь основания \(B\) на высоту \(h\):

\[V = B \cdot h\]
\[V = 30 \cdot 2.5\]
\[V = 75\]

Таким образом, объем треугольной призмы составляет 75 кубических сантиметров.