Каков объем усеченного конуса, если его высота равна 3, радиус основания вдвое больше другого и образующая создает угол

Ledyanoy_Serdce

19

Чтобы найти объем усеченного конуса, нам нужно знать высоту конуса и радиусы его двух оснований. Данная задача предоставляет все необходимые данные.

Обозначим радиус одного из оснований как \(r\), а радиус другого основания как \(2r\). Обратите внимание, что второе основание вдвое больше первого основания.

Также дано, что высота конуса равна 3 и образующая (линия, соединяющая вершину конуса и центр основания) образует угол 45 градусов с основанием.

Первым шагом в решении будет найти радиус большего основания конуса. Мы знаем, что угол между образующей конуса и радиусом основания равен 45 градусов. Если мы нарисуем прямую линию, соединяющую центр конуса с вершиной, образуется прямоугольный треугольник с впишущимся углом 45 градусов. Так как происходит увеличение радиуса вдвое, мы можем использовать свойства прямоугольного треугольника и формулу тангенса, чтобы найти радиус большего основания.

Формула тангенса: \(\tan(\text{угол}) = \frac{\text{противолежащий катет}}{\text{примыкающий катет}}\)

В нашем случае угол равен 45 градусов, а примыкающий катет равен \(r\), а противолежащий катет - \(2r\). Подставив значения в формулу, получим:

\(\tan(45) = \frac{2r}{r}\)
\(1 = \frac{2r}{r}\)
\(r = 2\)

Теперь у нас есть значения радиусов обоих оснований конуса. Мы также знаем, что высота конуса равна 3.

Формула объема конуса: \(V = \frac{1}{3}\pi h (R^2 + r^2 + Rr)\)

Подставим известные значения в формулу:

\(V = \frac{1}{3}\pi \cdot 3 \cdot ((2r)^2 + r^2 + (2r)r)\)
\(V = \frac{1}{3}\pi \cdot 3 \cdot (4r^2 + r^2 + 2r^2)\)
\(V = \frac{1}{3}\pi \cdot 3 \cdot 7r^2\)
\(V = \pi \cdot 7r^2\)

Подставим значение \(r = 2\):

\(V = \pi \cdot 7 \cdot 2^2\)
\(V = \pi \cdot 7 \cdot 4\)
\(V = 28\pi\)

Таким образом, объем усеченного конуса равен \(28\pi\).