Каков остаток от деления многочлена Q(x) на (x3+x2−2x) при x=−8?

Магический_Самурай

8

Хорошо, давайте решим эту задачу шаг за шагом. Мы хотим найти остаток от деления многочлена $Q(x)$ на $x^3+x^2-2x$ при $x=-8$. Прежде чем продолжить, давайте рассмотрим, как можно делить многочлены при помощи деления столбиком.

Шаг 1: Сначала запишем многочлен $Q(x)$ в стандартной форме, начиная с самой высокой степени $x^3$ и заканчивая свободным членом.

Шаг 2: Запишем делитель в том же порядке степеней и организуем деление столбиком, выравнивая степени.

Шаг 3: Произведем деление столбиком, начиная с самой высокой степени $x^3$ и продолжая до свободного члена.

Шаг 4: Определим остаток, который будет многочленом низшей степени, чем делитель.

Теперь, применим эти шаги к нашей задаче:

Шаг 1: Для начала, нам нужно знать многочлен $Q(x)$. К сожалению, вы не указали его, поэтому давайте предположим, что $Q(x)=2x^4-x^3+5x^2+3x-7$.

Шаг 2: Теперь запишем делитель $x^3+x^2-2x$ и организуем деление столбиком:

$$\begin{array}{cccccc}& 2x^4& -x^3& +5x^2& +3x& -7\\ x^3& & & & & \\ x^2& & & & & \\ -2x& & & & & \end{array}$$

Шаг 3: Произведем деление столбиком, начиная с самой высокой степени $x^3$ и продолжая до свободного члена:

Умножим $x^3$ на $2x^4$ получаем $2x^7$. Запишем это под $2x^4$.

$$\begin{array}{cccccc}& 2x^4& -x^3& +5x^2& +3x& -7\\ x^3& 2x^7& & & & \\ x^2& & & & & \\ -2x& & & & & \end{array}$$

Теперь вычтем $(2x^7)(x^3+x^2-2x)$ из $2x^4-x^3+5x^2+3x-7$.

$$\begin{array}{cccccc}& 2x^4& -x^3& +5x^2& +3x& -7\\ x^3& 2x^7& & & & \\ x^2& -2x^6& & & & \\ -2x& 4x^5& & & & \end{array}$$

Теперь вычтем $(-2x^6)(x^3+x^2-2x)$ из полученной разности.

$$\begin{array}{cccccc}& 2x^4& -x^3& +5x^2& +3x& -7\\ x^3& 2x^7& & & & \\ x^2& -2x^6& & & & \\ -2x& 4x^5& & & & \\ & & x^6& 3x^2& +5x& -7\end{array}$$

Шаг 4: Остаток от деления равен $x^6+3x^2+5x-7$.

Таким образом, остаток от деления многочлена $Q(x)$ на $x^3+x^2-2x$ при $x=-8$ равен $18-3+120+40-7=168$.