Каков остаток от деления многочлена Q(x) на (x3+x2−2x) при x=−8?

Магический_Самурай

8

Хорошо, давайте решим эту задачу шаг за шагом. Мы хотим найти остаток от деления многочлена \(Q(x)\) на \(x^3 + x^2 - 2x\) при \(x = -8\). Прежде чем продолжить, давайте рассмотрим, как можно делить многочлены при помощи деления столбиком.

Шаг 1: Сначала запишем многочлен \(Q(x)\) в стандартной форме, начиная с самой высокой степени \(x^3\) и заканчивая свободным членом.

Шаг 2: Запишем делитель в том же порядке степеней и организуем деление столбиком, выравнивая степени.

Шаг 3: Произведем деление столбиком, начиная с самой высокой степени \(x^3\) и продолжая до свободного члена.

Шаг 4: Определим остаток, который будет многочленом низшей степени, чем делитель.

Теперь, применим эти шаги к нашей задаче:

Шаг 1: Для начала, нам нужно знать многочлен \(Q(x)\). К сожалению, вы не указали его, поэтому давайте предположим, что \(Q(x) = 2x^4 - x^3 + 5x^2 + 3x - 7\).

Шаг 2: Теперь запишем делитель \(x^3 + x^2 - 2x\) и организуем деление столбиком:

\[
\begin{array}{c|ccccc}
& 2x^4 & -x^3 & +5x^2 & +3x & -7 \\
\hline
x^3 & & & & & \\
x^2 & & & & & \\
-2x & & & & & \\
\end{array}
\]

Шаг 3: Произведем деление столбиком, начиная с самой высокой степени \(x^3\) и продолжая до свободного члена:

Умножим \(x^3\) на \(2x^4\) получаем \(2x^7\). Запишем это под \(2x^4\).

\[
\begin{array}{c|ccccc}
& 2x^4 & -x^3 & +5x^2 & +3x & -7 \\
\hline
x^3 & 2x^7 & & & & \\
x^2 & & & & & \\
-2x & & & & & \\
\end{array}
\]

Теперь вычтем \((2x^7)(x^3 + x^2 - 2x)\) из \(2x^4 - x^3 + 5x^2 + 3x - 7\).

\[
\begin{array}{c|ccccc}
& 2x^4 & -x^3 & +5x^2 & +3x & -7 \\
\hline
x^3 & 2x^7 & & & & \\
x^2 & -2x^6 & & & & \\
-2x & 4x^5 & & & & \\
\end{array}
\]

Теперь вычтем \((-2x^6)(x^3 + x^2 - 2x)\) из полученной разности.

\[
\begin{array}{c|ccccc}
& 2x^4 & -x^3 & +5x^2 & +3x & -7 \\
\hline
x^3 & 2x^7 & & & & \\
x^2 & -2x^6 & & & & \\
-2x & 4x^5 & & & & \\
\hline
& & x^6 & 3x^2 & +5x & -7 \\
\end{array}
\]

Шаг 4: Остаток от деления равен \(x^6 + 3x^2 + 5x - 7\).

Таким образом, остаток от деления многочлена \(Q(x)\) на \(x^3 + x^2 - 2x\) при \(x = -8\) равен \(18 - 3 + 120 + 40 - 7 = 168\).