Каков острый угол треугольника, который противолежит стороне, равной 3√3R, а радиус описанной окружности вокруг этого

Pizhon

16

Предположим, что сторона треугольника, равная \(3\sqrt{3}R\), является основанием треугольника, а описанная окружность имеет радиус \(r\).

Чтобы вычислить острый угол треугольника, нужно использовать свойство, которое утверждает, что в каждом треугольнике сумма всех трех углов равна 180 градусам.

Поскольку мы знаем, что описанная окружность вокруг треугольника имеет радиус \(r\), радиус описанной окружности всегда равен половине длины гипотенузы треугольника, где гипотенуза - это наибольшая сторона треугольника.

Исходя из этого, мы можем сказать, что гипотенуза треугольника равна \(2r\).

Нам известно, что одна из сторон треугольника равна \(3\sqrt{3}R\).

Теперь мы можем использовать теорему Пифагора, которая утверждает, что квадрат длины гипотенузы в прямоугольном треугольнике равен сумме квадратов длин двух других сторон.

Применяя теорему Пифагора, получаем:

\[(2r)^2 = (3\sqrt{3}R)^2 + a^2\]

где \(a\) - это длина другой стороны треугольника.

Упростим это уравнение:

\[4r^2 = 9 \cdot 3R^2 + a^2\]

Поскольку мы ищем острый угол треугольника, который противолежит стороне \(3\sqrt{3}R\), эта сторона должна быть ближайшей к этому углу. Таким образом, мы можем сказать, что наша искомая сторона \(a\).

Обратим внимание, что треугольник является равносторонним, потому что все его стороны равны \(3\sqrt{3}R\).

Следовательно, \(a = 3\sqrt{3}R\).

Подставим это значение в уравнение:

\[4r^2 = 9 \cdot 3R^2 + (3\sqrt{3}R)^2\]

\[4r^2 = 27R^2 + 27R^2\]

\[4r^2 = 54R^2\]

Разделим обе части на 4:

\[r^2 = 13.5R^2\]

Теперь возьмем квадратный корень от обеих сторон:

\[r = \sqrt{13.5}R\]

Таким образом, радиус описанной окружности равен \(\sqrt{13.5}R\).

Теперь мы можем использовать тригонометрию, чтобы найти острый угол треугольника. Поскольку мы знаем соотношение между радиусом описанной окружности и стороной треугольника, мы можем использовать тангенс:

\[\tan(\text{острый угол}) = \frac{\text{противолежащая сторона}}{\text{прилежащая сторона}} = \frac{3\sqrt{3}R}{\sqrt{13.5}R} = \frac{3\sqrt{3}}{\sqrt{13.5}}\]

Теперь вычислим значение тангенса:

\[\tan(\text{острый угол}) = \frac{3\sqrt{3}}{\sqrt{13.5}} \approx 0.866\]

Используя обратную функцию тангенса, мы можем найти острый угол:

\[\text{острый угол} = \arctan(0.866) \approx 40.89^\circ\]

Таким образом, острый угол треугольника, противолежащий стороне длиной \(3\sqrt{3}R\), при условии, что радиус описанной окружности составляет \(\sqrt{13.5}R\), равен приблизительно \(40.89^\circ\).