Каков периметр четырехугольника, получающегося путем соединения середин сторон вписанного квадрата с радиусом

Дельфин

64

Для начала, нам понадобится некоторая информация о данной задаче. Вписанный квадрат - это квадрат, все вершины которого лежат на окружности. А радиус окружности — это расстояние от ее центра до любой точки окружности. Периметр четырехугольника - это сумма длин его сторон. Теперь перейдем к решению задачи.

Пусть \(r\) - радиус окружности, на которой лежит вписанный квадрат. Поскольку квадрат имеет все стороны равными, длина стороны квадрата равна \(2r\).

Четырехугольник, получаемый путем соединения середин сторон квадрата, представляет собой квадрат, вписанный в исходный квадрат. Пусть \(A\), \(B\), \(C\) и \(D\) - середины сторон исходного квадрата, а \(E\), \(F\), \(G\) и \(H\) - вершины вписанного в квадрат квадрата.

Чтобы найти периметр четырехугольника, нам нужно найти сумму длин его сторон. Рассмотрим каждую сторону отдельно.

1. Сторона \(\overline{AB}\):
Сторона \(\overline{AB}\) состоит из двух отрезков равной длины \(\overline{AE}\) и \(\overline{BE}\). Поскольку \(E\) - середина стороны исходного квадрата, длина \(\overline{AE}\) равна половине стороны исходного квадрата, то есть \(\frac{1}{2} \times 2r = r\). Аналогично, длина \(\overline{BE}\) также равна \(r\). Таким образом, длина стороны \(\overline{AB}\) равна сумме длин \(\overline{AE}\) и \(\overline{BE}\), то есть \(r + r = 2r\).

2. Сторона \(\overline{BC}\):
Аналогично, сторона \(\overline{BC}\) состоит из отрезков \(\overline{BF}\) и \(\overline{CF}\), каждый из которых имеет длину \(r\). Таким образом, длина стороны \(\overline{BC}\) также равна \(2r\).

3. Сторона \(\overline{CD}\):
Длина стороны \(\overline{CD}\) аналогична длине стороны \(\overline{AB}\) и также равна \(2r\).

4. Сторона \(\overline{DA}\):
Длина стороны \(\overline{DA}\) аналогична длине стороны \(\overline{BC}\) и также равна \(2r\).

Таким образом, периметр четырехугольника, получающегося путем соединения середин сторон вписанного квадрата, равен сумме длин его сторон. В нашем случае, каждая сторона имеет длину \(2r\). Следовательно, периметр четырехугольника равен:

\[4 \times 2r = 8r.\]

Ответ: периметр четырехугольника равен \(8r\).