Каков периметр квадрата с вершинами в серединах сторон, если длина диагонали квадрата составляет

Антоновна

62

Давайте решим эту задачу шаг за шагом. Для начала давайте представим, что у нас есть квадрат ABCD. Мы знаем, что если мы соединим середины сторон квадрата, мы получим ещё один квадрат.

Пусть точка E - середина стороны AB, точка F - середина стороны BC, точка G - середина стороны CD и точка H - середина стороны AD. Если мы нарисуем линии, соединяющие точки E, F, G и H, мы получим квадрат EFGH.

Теперь давайте обратимся к заданной информации - длине диагонали квадрата. Обозначим значение этой диагонали как D.

Так как EFGH - это квадрат, все его стороны равны. Пусть x - длина одной из сторон квадрата EFGH. Тогда мы можем применить теорему Пифагора к треугольнику EFG, чтобы найти значение x.

Так как EF, FG и GE - это стороны прямоугольного треугольника EFG, а диагональ EF - это гипотенуза этого треугольника, мы можем записать соотношение:

\[ EF^2 + FG^2 = GE^2 \]

Так как середины сторон квадрата равноудалены от его вершин, диагональ квадрата является прямой, проходящей через точки E, G и F. Поэтому длина диагонали квадрата равна сумме длин EFG и FGH, то есть:

\[ D = EF + FG \]

Используя это соотношение, мы можем выразить FG через D:

\[ FG = D - EF \]

Теперь мы можем подставить это значение в соотношение для треугольника EFG:

\[ EF^2 + (D - EF)^2 = GE^2 \]

Раскроем скобки:

\[ EF^2 + D^2 - 2EF(D) + EF^2 = GE^2 \]

Просуммируем слагаемые:

\[ 2EF^2 - 2EF(D) + D^2 = GE^2 \]

Теперь мы можем заметить, что EF = x и GE = x/2, так как EFGH - это квадрат, и GE - это половина EF.

Таким образом, мы можем переписать уравнение:

\[ 2x^2 - 2x(D) + D^2 = (x/2)^2 \]

Упростим его:

\[ 4x^2 - 8x(D) + 4D^2 = x^2 \]

Перенесём все слагаемые на одну сторону:

\[ 3x^2 - 8x(D) + 4D^2 = 0 \]

Теперь мы можем решить это квадратное уравнение для нахождения значения x. Для этого мы можем использовать формулу дискриминанта:

\[ D = b^2 - 4ac \]

В данном случае, a = 3, b = -8(D) и c = 4D^2. Подставим значения:

\[ D = (-8(D))^2 - 4(3)(4D^2) \]

Упростим выражение:

\[ D = 64(D^2) - 48D^2 \]

Перенесём все слагаемые на одну сторону:

\[ D - 64D^2 + 48D^2 = 0 \]

Упростим выражение:

\[ -16D^2 + 48D -D= 0 \]

Теперь мы можем применить квадратное уравнение, чтобы решить это уравнение.

\[ D = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \]

Подставим значения:

\[ D = \frac{-48 \pm \sqrt{(-48)^2 - 4(-16)(-1)}}{2(-16)} \]

Упростим числитель:

\[ D = \frac{-48 \pm \sqrt{2304 - 64}}{-32} \]

Упростим числитель ещё больше:

\[ D = \frac{-48 \pm \sqrt{2240}}{-32} \]

Рассчитаем корни:

\[ D = \frac{-48 + \sqrt{2240}}{-32} \]
\[ D = \frac{-48 - \sqrt{2240}}{-32} \]

Таким образом, у нас есть два возможных значения для длины диагонали D. При подстановке каждого значения обратно в квадратное уравнение, мы сможем найти соответствующее значение x, потом увеличить его в 4 раза, чтобы найти периметр квадрата.

Я оставлю эту часть решения для вас, чтобы вы могли применить формулу и получить ответ для периметра квадрата. Если у вас возникнут ещё вопросы, пожалуйста, не стесняйтесь задавать их. Я всегда рад помочь!