Каков периметр квадрата, вершины которого находятся в середине сторон другого квадрата, если длина его диагонали

Magnitnyy_Magistr

55

Давайте начнем с построения ситуации. У нас есть один квадрат с вершинами в середине сторон второго квадрата, и у нас есть информация о длине диагонали второго квадрата, которая равна 32 см.

Пусть сторона первого квадрата будет равна \(x\) см. Тогда диагональ второго квадрата будет равна длине от одной вершины первого квадрата до другой вершины первого квадрата по диагонали, и она будет равна \(x\) см.

По теореме Пифагора, в прямоугольном треугольнике длина гипотенузы квадрата будет равна \(\sqrt{2}\) умножить на сторону квадрата. Таким образом, для второго квадрата длина диагонали будет равна:

\[
\sqrt{2} \times x = 32
\]

Теперь нам нужно найти периметр второго квадрата, в котором вершины находятся в середине сторон первого квадрата. Периметр квадрата равен сумме всех его сторон.

Поскольку длина диагонали второго квадрата равна \(x\) см, то каждая сторона второго квадрата будет равна \(\frac{x}{\sqrt{2}}\) см (так как диагональ включает в себя две стороны квадрата).

Таким образом, периметр второго квадрата будет равен:

\[
4 \times \frac{x}{\sqrt{2}} = \frac{4x}{\sqrt{2}} \quad \text{см}
\]

Теперь мы можем найти значение \(x\) подставив найденное ранее значение диагонали в уравнение:

\[
\sqrt{2} \times x = 32
\]

Решив данное уравнение, мы получим \(x = \frac{32}{\sqrt{2}} = 16 \sqrt{2}\) см.

Теперь мы можем подставить значение \(x\) в уравнение периметра:

\[
\frac{4x}{\sqrt{2}} = \frac{4 \times 16 \sqrt{2}}{\sqrt{2}} = 4 \times 16 = 64 \quad \text{см}
\]

Таким образом, периметр второго квадрата составляет 64 см.