Каков периметр квадрата, вписанного в прямоугольный треугольник с катетами, длины которых составляют 24 единицы

Радужный_Мир

24

Чтобы найти периметр квадрата, вписанного в прямоугольный треугольник, нам нужно разобраться в его особенностях и использовать соответствующие формулы.

Пусть катеты прямоугольного треугольника имеют длины 24 и 8 единиц измерения, соответственно. Также, давайте обозначим сторону квадрата через \(x\).

Известно, что квадрат вписан в прямоугольный треугольник, то есть, каждая сторона квадрата касается одной из сторон треугольника. Обратите внимание, что при вписывании квадрата, треугольник разбивается на четыре маленьких треугольника.

Из сходства треугольников можно сделать следующие наблюдения:

1. Треугольник, образованный сторонами прямоугольного треугольника и стороной квадрата, будет подобен исходному прямоугольному треугольнику.

2. Главный угол \(\angle ABC\) является общим для обоих треугольников, то есть угол \(\angle ABC\) равен также углу касательной стороны квадрата.

3. Так как сторона квадрата касается сторон прямоугольного треугольника, то наши маленькие треугольники окажутся прямоугольными треугольниками.

Исходя из этих наблюдений, мы можем приступить к решению задачи. Давайте найдем длины сторон маленьких треугольников и выразим их через переменную \(x\):

- Введем высоту треугольника, проведенную к основанию, она будет равна стороне квадрата (\(x\)).
- Тогда, по теореме Пифагора, мы можем выразить первый маленький треугольник со сторонами \(8\), \(x\) и гипотенузой \(24\). Получим уравнение: \[24^2 = 8^2 + x^2\].

Теперь найдем длину второго маленького треугольника:

- Так как второй маленький треугольник прямоугольный, его гипотенуза будет равна диагонали квадрата (\(x\)).
- Длина первой катета этого треугольника будет равна \(x - 8\).
- Длина второго катета будет равна \(24 - x\).
- Используя теорему Пифагора, мы получим уравнение: \[x^2 = (x - 8)^2 + (24 - x)^2\].

Теперь у нас есть система из двух уравнений, которые мы можем решить для нахождения значения \(x\).

1. Раскроем скобки во втором уравнении:
\[x^2 = x^2 - 16x + 64 + 576 - 48x + x^2\].
2. Сократим подобные слагаемые:
\[0 = x^2 - 64x + 640\].
3. Теперь решим квадратное уравнение:
\[x^2 - 64x + 640 = 0\].
4. Решим это уравнение, используя квадратное уравнение или факторизацию.
Если мы используем квадратное уравнение, то формула будет выглядеть так:
\[x = \frac{{-(-64) \pm \sqrt{(-64)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 640}}}{{2 \cdot 1}}\].

После вычислений, получим два возможных значения для \(x\), но только одно из них будет иметь смысл.

Так как мы ищем сторону квадрата, которая является длиной, то \(x > 0\). Также, из первого уравнения, мы замечаем, что \(x < 24\). Поэтому, решение лежит в интервале \(0 < x < 24\).

Выполнив все вычисления, мы получим:

\[x = 16\].

Теперь, когда у нас есть сторона \(x\) квадрата, вписанного в прямоугольный треугольник, мы можем найти периметр этого квадрата.

Периметр квадрата равен четырем умноженному на длину его стороны.
В данном случае, периметр будет равен \(4 \cdot 16 = 64\) единицы измерения.

Таким образом, периметр квадрата, вписанного в прямоугольный треугольник с катетами 24 и 8 единиц измерения, и имеющего общий прямой угол с треугольником, равен 64 единицы измерения.