Каков периметр прямоугольника, если его стороны параллельны диагоналям квадрата, а вершины лежат на сторонах квадрата

Валентинович

49

Для решения этой задачи, нам необходимо учесть, что стороны прямоугольника параллельны диагоналям квадрата и вершины прямоугольника лежат на сторонах квадрата. Первым шагом, давайте посмотрим на рисунок, чтобы прояснить ситуацию.

\[diagram]
rectangle with rounded corners A B C D;
square s with diagonal e;
draw s;
filldraw A rectangle s;
draw D -- C -- B -- A -- cycle;
draw A -- C;
label("A", A, SW);
label("B", B, SE);
label("C", C, NE);
label("D", D, NW);
label("S", s, S);
\[/diagram]

На рисунке, прямоугольник обозначен точками A, B, C и D, а квадрат - точкой S с диагональю e. Так как стороны прямоугольника параллельны диагоналям квадрата, стороны прямоугольника будут параллельны сторонам квадрата.

Обозначим длину стороны квадрата через \(x\). Тогда, так как диагональ квадрата равна 10,5, мы можем использовать теорему Пифагора, чтобы найти \(x\). Согласно теореме Пифагора, квадрат длины диагонали равен сумме квадратов длин его сторон:

\[x^2 + x^2 = 10.5^2\]

Решим это уравнение:

\[2x^2 = 10.5^2\]
\[x^2 = \frac{10.5^2}{2}\]
\[x^2 = 55.125\]
\[x \approx 7.42\]

Таким образом, длина стороны квадрата составляет примерно 7.42.

Теперь, чтобы найти периметр прямоугольника, мы можем использовать данные о стороне квадрата. Заметим, что прямоугольник состоит из одной горизонтальной стороны (AB) и двух вертикальных сторон (AD и BC), каждая равна длине стороны квадрата.

\[AB = x \approx 7.42\]
\[AD = BC = x \approx 7.42\]

Таким образом, периметр прямоугольника можно найти, сложив длины всех его сторон:

\[P = AB + AD + BC + CD\]
\[P = x + x + x + x\]
\[P = 4x\]
\[P = 4 \cdot 7.42 \approx 29.68\]

Ответ: периметр прямоугольника равен примерно 29.68.