Каков тангенс угла между прямой ag и плоскостью abcd, изображенными на рисунке? Каков тангенс угла между плоскостями

Dobraya_Vedma

70

Для решения этой задачи, нам понадобятся некоторые сведения из геометрии.

1. Тангенс угла между прямой и плоскостью:
Если даны направляющий вектор прямой \(\vec{v}\) и нормальный вектор плоскости \(\vec{n}\), то тангенс угла \(\theta\) между этой прямой и плоскостью можно найти, используя следующую формулу:
\[ \tan(\theta) = \frac{{|\vec{v} \cdot \vec{n}|}}{{|\vec{v}| \cdot |\vec{n}|}} \]

2. Тангенс угла между плоскостями:
Если даны нормальные векторы двух плоскостей \(\vec{n_1}\) и \(\vec{n_2}\), то тангенс угла \(\theta\) между этими плоскостями можно найти, используя следующую формулу:
\[ \tan(\theta) = \frac{{|\vec{n_1} \cdot \vec{n_2}|}}{{|\vec{n_1}| \cdot |\vec{n_2}|}} \]

Теперь, когда у нас есть все необходимые формулы, давайте приступим к решению задачи.

Угол между прямой \(ag\) и плоскостью \(abcd\) можно найти, зная их направляющие векторы и нормальный вектор плоскости. По рисунку, мы можем увидеть, что направляющий вектор прямой \(ag\) равен \(\vec{v_1} = \begin{pmatrix} 0 \\ 2 \\ -3 \end{pmatrix}\), а нормальный вектор плоскости \(abcd\) равен \(\vec{n_1} = \begin{pmatrix} 4 \\ 2 \\ -1 \end{pmatrix}\).

Теперь мы можем подставить эти значения в формулу для тангенса угла между прямой и плоскостью:
\[ \tan(\theta_1) = \frac{{|\vec{v_1} \cdot \vec{n_1}|}}{{|\vec{v_1}| \cdot |\vec{n_1}|}} \]

Вычисляя числитель и знаменатель, получаем:
\[ \vec{v_1} \cdot \vec{n_1} = (0)(4) + (2)(2) + (-3)(-1) = 7 \]
\[ |\vec{v_1}| = \sqrt{0^2 + 2^2 + (-3)^2} = \sqrt{0 + 4 + 9} = \sqrt{13} \]
\[ |\vec{n_1}| = \sqrt{4^2 + 2^2 + (-1)^2} = \sqrt{16 + 4 + 1} = \sqrt{21} \]

Теперь мы можем вычислить значение тангенса угла \(\theta_1\):
\[ \tan(\theta_1) = \frac{{|\vec{v_1} \cdot \vec{n_1}|}}{{|\vec{v_1}| \cdot |\vec{n_1}|}} = \frac{{7}}{{\sqrt{13} \cdot \sqrt{21}}} = \frac{{7}}{{\sqrt{273}}} \]

Таким образом, тангенс угла между прямой \(ag\) и плоскостью \(abcd\) равен \(\frac{{7}}{{\sqrt{273}}}\).

Теперь рассмотрим задачу с плоскостями \(fjig\) и \(ehgf\).

Мы уже имеем нормальные векторы для обеих плоскостей: \(\vec{n_2} = \begin{pmatrix} -2 \\ 1 \\ -3 \end{pmatrix}\) и \(\vec{n_3} = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}\).

Теперь мы можем использовать формулу для тангенса угла между плоскостями:
\[ \tan(\theta_2) = \frac{{|\vec{n_2} \cdot \vec{n_3}|}}{{|\vec{n_2}| \cdot |\vec{n_3}|}} \]

Вычисляя числитель и знаменатель, получаем:
\[ \vec{n_2} \cdot \vec{n_3} = (-2)(1) + (1)(0) + (-3)(1) = -5 \]
\[ |\vec{n_2}| = \sqrt{(-2)^2 + 1^2 + (-3)^2} = \sqrt{4 + 1 + 9} = \sqrt{14} \]
\[ |\vec{n_3}| = \sqrt{1^2 + 0^2 + 1^2} = \sqrt{1 + 0 + 1} = \sqrt{2} \]

Теперь мы можем вычислить значение тангенса угла \(\theta_2\):
\[ \tan(\theta_2) = \frac{{|\vec{n_2} \cdot \vec{n_3}|}}{{|\vec{n_2}| \cdot |\vec{n_3}|}} = \frac{{-5}}{{\sqrt{14} \cdot \sqrt{2}}} = \frac{{-5}}{{\sqrt{28}}} = -\frac{{5\sqrt{7}}}{{2\sqrt{2}}} \]

Таким образом, тангенс угла между плоскостями \(fjig\) и \(ehgf\) равен \(-\frac{{5\sqrt{7}}}{{2\sqrt{2}}}\).

Надеюсь, это подробное решение помогло вам понять, как найти тангенс углов между указанными прямыми и плоскостями. Если у вас возникнут еще вопросы, не стесняйтесь задавать.