Каков периметр прямоугольного треугольника со сторонами, равными гипотенузе равной 10 см и радиусу вписанной окружности

Zmey

23

Для начала, давайте вспомним основные свойства прямоугольного треугольника. В прямоугольном треугольнике гипотенуза является самой длинной стороной и она примыкает к прямому углу.

У нас дана гипотенуза равная 10 см. Также в условии задачи сказано, что радиус вписанной окружности равен 2 см. Известно, что вписанная окружность треугольника касается каждой из его сторон в одной точке.

Давайте найдем длины оставшихся двух сторон треугольника. Поскольку радиус вписанной окружности касается сторон треугольника, то отрезки, проведенные от точки касания до вершин треугольника, являются радиусами окружности, которые перпендикулярны сторонам треугольника. По свойству радиуса, эти отрезки равны друг другу и, также, они равны расстоянию от точки касания до любой из вершин треугольника.

Так как для прямоугольного треугольника справедлива теорема Пифагора, то мы можем воспользоваться ей, чтобы найти длины катетов треугольника. Давайте обозначим длину одного из катетов буквой \(a\), а второго - буквой \(b\).

По теореме Пифагора:
\[a^2 + b^2 = c^2,\]
где \(c\) - гипотенуза треугольника. Подставив известные значения, получим:
\[a^2 + b^2 = 10^2,\]
\[a^2 + b^2 = 100.\]

Теперь давайте рассмотрим прямоугольник, вписанный в прямоугольный треугольник. Этот прямоугольник состоит из двух катетов и двух радиусов вписанной окружности.

Пусть \(S\) - площадь прямоугольного треугольника, \(P\) - его периметр, \(a\) - один из катетов, \(b\) - другой катет.

Площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения длин катетов:
\[S = \frac{1}{2} \cdot a \cdot b.\]

Периметр прямоугольного треугольника равен сумме длин всех его сторон:
\[P = a + b + c.\]

Известно, что один из катетов равен 2 см (длина радиуса вписанной окружности). Заметим, что другой катет получается вычитанием радиуса из длины гипотенузы:
\[b = c - 2.\]

Мы получили систему двух уравнений:
\[a^2 + b^2 = 100,\]
\[b = c - 2.\]

Давайте решим эту систему уравнений. Подставим второе уравнение в первое:
\[a^2 + (c - 2)^2 = 100.\]

Раскроем скобки и приведем уравнение к квадратному виду:
\[a^2 + c^2 - 4c + 4 = 100,\]
\[a^2 + c^2 - 4c - 96 = 0.\]

Теперь заметим, что наше уравнение - квадратное. Давайте применим формулу дискриминанта для его решения:
\[D = (-4)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-96) = 448.\]

Так как дискриминант положителен, то у нас есть два корня:
\[a_1 = \frac{-(-4) + \sqrt{448}}{2 \cdot 1} = 12,\]
\[a_2 = \frac{-(-4) - \sqrt{448}}{2 \cdot 1} = -8.\]
Так как длина стороны не может быть отрицательной, то выберем положительный корень \(a_1 = 12\).

Теперь, чтобы найти длину второго катета \(b\), подставим \(a = 12\) во второе уравнение:
\[b = c - 2 \Rightarrow 12 = c - 2 \Rightarrow c = 14.\]

Таким образом, мы нашли значения сторон треугольника: \(a = 12\) см, \(b = 14 - 2 = 12\) см, \(c = 14\) см. Подставим их в формулу для нахождения площади и периметра:

Площадь треугольника:
\[S = \frac{1}{2} \cdot 12 \cdot 12 = 72 \, \text{см}^2.\]

Периметр треугольника:
\[P = 12 + 12 + 14 = 38 \, \text{см}.\]

Таким образом, периметр прямоугольного треугольника составляет 38 см, а его площадь равна 72 квадратным сантиметрам.