Каков периметр равнобедренной трапеции ELCD, если длина ее длинного основания ED равна 8 см, а короткое основание

Лариса

14

Для начала, давайте разберемся с геометрическими свойствами равнобедренной трапеции. Равнобедренная трапеция имеет две пары равных сторон. В нашем случае, это боковые стороны и основания трапеции.

Мы знаем, что длина длинного основания ED равна 8 см. Также нам известно, что короткое основание LC и боковые стороны равны. Пусть длина этих сторон будет \( x \) см.

Обратите внимание, что угол при вершине трапеции равен 70°. Это означает, что угол ELD равен 70°, так как он является вертикальным углом.

Теперь, чтобы найти периметр трапеции PELCD, нам нужно просуммировать длины всех сторон.

Периметр трапеции равен сумме длин оснований и двух боковых сторон. Обозначим периметр через \( P \). Тогда можно записать:

\[ P = ED + LC + LD + EC \]

Так как рассматриваемая трапеция является равнобедренной, то стороны LD и EC равны \( x \) см. Поэтому мы можем переписать формулу для периметра следующим образом:

\[ P = 8 + x + x + x \]

Продолжим выражение:

\[ P = 8 + 3x \]

Теперь осталось только найти значение переменной \( x \), чтобы вычислить периметр.

Обратимся к свойствам углов треугольника. В треугольнике ELD сумма углов должна быть равна 180°. Угол ELD равен 70°, а углы DEL и DLE равны между собой, так как это равнобедренная трапеция. Поэтому:

\[ 70 + \theta + \theta = 180 \]

\[ 2\theta = 180 - 70 \]

\[ 2\theta = 110 \]

\[ \theta = \frac{110}{2} = 55 \]

Таким образом, мы нашли, что углы DEL и DLE равны 55° каждый.

На основании свойства углов треугольника также можно утверждать, что угол LCD будет равен:

\[ \angle LCD = 180 - (55 + 55) = 70 \]

Мы заметили, что угол LCD равен углу при вершине трапеции. А так как у нас равнобедренная трапеция, то сторона LC является основанием трапеции.

Итак, мы знаем, что сторона LC равна \( x \) см, а угол при ее основании равен 70°.

Теперь мы можем использовать тригонометрическую функцию для нахождения значения \( x \). В данном случае мы можем использовать тангенс угла 70°:

\[ \tan(70^\circ) = \frac{x}{8} \]

Решаем уравнение относительно \( x \):

\[ x = 8 \cdot \tan(70^\circ) \]

После подстановки значения угла и расчета получаем:

\[ x \approx 18.57 \]

Теперь мы можем найти периметр трапеции PELCD путем подстановки полученного значения \( x \) в нашу формулу:

\[ P = 8 + 3x \]
\[ P = 8 + 3 \cdot 18.57 \]
\[ P \approx 63.71 \]

Таким образом, периметр равнобедренной трапеции PELCD равен примерно 63,71 см. Ответ округлен до сотых.