Каков периметр сечения призмы плоскостью, которая проходит через точки M, K и D, если дана правильная призма с длиной

Шерхан

62

Для начала рассмотрим данную нам призму. По условию, у нас есть правильная призма с длиной ребра AA1 равной \(\sqrt{14}\) и длиной ребра AD равной \(\sqrt{8}\). Давайте обозначим точку M как середину ребра AA1, точку K как проекцию точки A1 на плоскость ABCD, а точку D как вершину призмы.

Так как призма правильная, всех ее грани являются параллелограммами, и все ребра равны друг другу.

Из фотографии видно, что сечение проходит через точки M, K и D. Призма имеет прямоугольную форму, поэтому такое сечение будет параллелограммом.

Так как точка M — середина ребра AA1, то она будет находиться на равном расстоянии от вершин A и A1, а значит, в проекции сечения MNML, отрезки MN и ML будут равны.

Также, так как точка K — проекция точки A1 на плоскость ABCD, отрезок DK будет перпендикулярен плоскости ABCD. Следовательно, DK будет перпендикулярен отрезку MK, и они будут равны друг другу.

Теперь найдем длину отрезка KM и площадь параллелограмма MNML.

Используя теорему Пифагора для треугольника МА1К, мы можем найти длину отрезка MK:

\[MK = \sqrt{MA_1^2 + A_1K^2} = \sqrt{(\sqrt{14})^2 + (\sqrt{14})^2} = \sqrt{28 + 14} = \sqrt{42}\]

Теперь, так как отрезок MK является диагональю параллелограмма MNML, мы можем использовать формулу для нахождения площади параллелограмма через его диагонали:

\[S = \frac{1}{2} \cdot d_1 \cdot d_2\]

где \(S\) — площадь параллелограмма, а \(d_1\) и \(d_2\) — его диагонали.

Поскольку отрезки MN и ML равны, диагонали параллелограмма будут равны \(\sqrt{42}\).

Теперь мы можем найти площадь параллелограмма MNML:

\[S = \frac{1}{2} \cdot \sqrt{42} \cdot \sqrt{42} = \frac{1}{2} \cdot 42 = 21\]

Итак, площадь параллелограмма MNML равна 21.

Так как это сечение является параллелограммом, его периметр будет равен удвоенной сумме длин его сторон. Поскольку все стороны параллелограмма равны, мы можем найти периметр умножением длины одной стороны на 4:

\[P = 4 \cdot \sqrt{42} = 4\sqrt{42}\]

Таким образом, периметр сечения призмы плоскостью, проходящей через точки M, K и D, равен \(4\sqrt{42}\).