Каков периметр трапеции, у которой меньшее основание равно 4 см и диагонали пересекаются в пропорции 2 : 5? Ответ

Belka

4

Чтобы найти периметр трапеции, нам нужно знать длины всех ее сторон. Дано, что меньшее основание равно 4 см. Обозначим его длину как \(a\) и пусть \(a = 4\) см.

Также дано, что диагонали трапеции пересекаются в пропорции 2:5. Обозначим длины отрезков диагоналей как \(b\) и \(c\). Пусть длина меньшей диагонали равна \(b\) и длина большей диагонали равна \(c\). Таким образом, у нас есть следующая пропорция:

\(\frac{b}{c} = \frac{2}{5}\)

Для нахождения периметра трапеции нам необходимо знать длины всех ее сторон. Существуют несколько способов найти эти длины, но в данном случае используем следующий подход.

Рассмотрим три треугольника, которые образуются диагоналями трапеции:

1. Большой треугольник с вершинами в точках соединения диагоналей и вершине большего основания. Пусть длины его сторон равны \(d\), \(e\) и \(f\).
2. Малый треугольник с вершинами в точках соединения диагоналей и вершине меньшего основания. Пусть длины его сторон равны \(g\) и \(h\).
3. Прямоугольный треугольник с вершинами в точках соединения диагоналей и точке пересечения высоты, проведенной из вершины меньшего основания. Пусть длины бокового отрезка равны \(i\) и \(j\), а длина высоты равна \(k\).

Теперь рассмотрим соотношения между этими сторонами:

В большом треугольнике:
\(c = d + e\) (1)
(так как большая диагональ равна сумме сторон большого треугольника)

В малом треугольнике:
\(b = g + h\) (2)
(так как меньшая диагональ равна сумме сторон малого треугольника)

В прямоугольном треугольнике:
\(b = i\) (3)
(так как боковая сторона прямоугольного треугольника равна меньшей диагонали)

Теперь, когда у нас есть эти соотношения, мы можем выразить длины всех сторон в терминах \(b\) и \(c\):

Из уравнения (3) получаем:
\(i = b\)

Подставляем \(i\) в уравнение (1):
\(c = d + e\) (4)
В уравнение (4) мы можем подставить выражение для \(b\) из уравнения (2):
\(c = d + e\) (5)
\(c = b - h + e\) (6)

Подставляем \(i\) в уравнение (6):
\(c = b - h + e\) (7)

Из уравнения (6) получаем:
\(h = b - c + e\)

Теперь выразим \(d\) через \(b\) и \(c\). Для этого подставим найденные выражения для \(i\) и \(h\) в уравнение (4):
\(c = d + e\) (5)
\(c = b - (b - c + e) + e\) (8)

Раскрываем скобки и упрощаем уравнение (8):
\(c = b - b + c - e + e\)
\(c = c\)

Таким образом, получаем, что \(c = c\), что является верным утверждением.

Теперь мы можем найти периметр трапеции, используя найденные длины сторон:

Периметр трапеции равен сумме длин всех ее сторон:
\(P = a + b + c + d\)

Подставляем найденные значения:
\(P = 4 + b + c + d\)
\(P = 4 + b + c + (d + e)\)
\(P = 4 + b + c + c\)
\(P = 4 + b + 2c\)

Теперь подставим выражение для \(c\) из уравнения (3):
\(P = 4 + b + 2b\)
\(P = 4 + 3b\)

Мы знаем, что \(b\) и \(c\) связаны пропорцией \(\frac{b}{c} = \frac{2}{5}\).

Решим эту пропорцию и найдем значение \(b\):

\(\frac{b}{c} = \frac{2}{5}\)

Перекрестное умножение:
\(5b = 2c\)

Подставим из уравнения (6):
\(5b = 2(b - h + e)\)

Упростим:
\(5b = 2b - 2h + 2e\)

Перенесем все слагаемые с \(b\) на одну сторону уравнения:
\(5b - 2b = - 2h + 2e\)
\(3b = - 2h + 2e\)

Теперь мы можем найти \(b\) с помощью уравнения, полученного из пропорции:
\(3b = - 2h + 2e\)
\(b = \frac{- 2h + 2e}{3}\)

Подставляем выражения для \(h\) и \(e\):
\(b = \frac{- 2(b - c + e) + 2e}{3}\)
\(b = \frac{- 2b + 2c - 2e + 2e}{3}\)
\(b = \frac{- 2b + 2c}{3}\)

Раскрываем скобки:
\(b = \frac{- 2b + 2c}{3}\)
\(b = \frac{- 2b}{3} + \frac{2c}{3}\)

Перенесем слагаемое \(\frac{-2b}{3}\) на одну сторону уравнения, а слагаемое \(\frac{2c}{3}\) на другую:
\(b + \frac{2b}{3} = \frac{2c}{3}\)

Суммируем дроби с общим знаменателем:
\(\frac{b + 2b}{3} = \frac{2c}{3}\)
\(\frac{3b}{3} = \frac{2c}{3}\)

Сокращаем дроби на \(3\):
\(b = \frac{2c}{3}\)

Теперь мы можем подставить это значение для \(b\) в выражение для периметра трапеции:

\(P = 4 + 3 \left(\frac{2c}{3}\right)\)

Упростим выражение:
\(P = 4 + 2c\)

Теперь, чтобы округлить ответ до десятых, мы должны знать значение конкретной величины \(c\). Если у вас есть значение \(c\), вы можете подставить его в это выражение для получения округленного значения периметра трапеции.

Итак, периметр трапеции равен \(4 + 2c\), где \(c\) - длина большей диагонали трапеции. Округлите ответ до десятых, если известно конкретное значение \(c\).