Каков периметр треугольника, если его площадь равна 336, а радиус вписанной окружности равен 12? Пожалуйста, отвечайте

Sovunya

59

Хорошо, давайте решим эту задачу пошагово.

Перед тем как продолжить, давайте вспомним некоторые формулы, связанные с треугольниками и окружностями:

1. Площадь треугольника можно вычислить, используя формулу \(S = \frac{{a \cdot h}}{2}\), где \(S\) - площадь треугольника, \(a\) - одна из сторон треугольника, \(h\) - высота, опущенная на данную сторону.

2. Периметр треугольника - это сумма длин его сторон.

3. Вписанная окружность треугольника - это окружность, которая касается всех трех сторон треугольника. Радиус вписанной окружности обозначим как \(r\).

Теперь приступим к задаче.

У нас задан радиус вписанной окружности \(r = 12\). Для начала, посмотрим, как связаны радиус вписанной окружности и высота треугольника. Высота треугольника - это линия, проведенная из вершины треугольника перпендикулярно одной из его сторон до точки касания вписанной окружности с этой стороной.

Заметим, что радиус вписанной окружности является высотой треугольника, опущенной на сторону, с которой он соприкасается. Это связано с тем, что радиус перпендикулярен касательной окружности и проходит через точку касания. В нашем случае, высота треугольника равна \(r = 12\).

Теперь используем формулу для площади треугольника. У нас задана площадь \(S = 336\), а одна из сторон треугольника - высота \(h = r = 12\). Подставим эти значения в формулу и выразим сторону треугольника:

\[S = \frac{{a \cdot h}}{2}\]
\[336 = \frac{{a \cdot 12}}{2}\]

Теперь найдем сторону треугольника, умножив обе части уравнения на \(\frac{2}{12}\):

\[336 \cdot \frac{2}{12} = a\]
\[a = 56\]

Итак, мы нашли, что одна из сторон треугольника равна \(a = 56\).

Теперь, чтобы найти периметр треугольника, нам нужно сложить длины всех его сторон. Поскольку треугольник имеет три равные стороны, его периметр можно вычислить как:

\[P = 3a\]
\[P = 3 \cdot 56\]
\[P = 168\]

Таким образом, периметр треугольника равен \(P = 168\).