Каков периметр треугольника, заданного координатами вершин A(-1;2;3), B(2;-1;0) и C(-4;2;-3)?

Dozhd

30

Для решения задачи нам нужно найти расстояния между вершинами треугольника и сложить их, чтобы получить периметр.

Шаг 1: Найдем расстояние между вершинами A и B.

Для этого используем формулу для расстояния между двумя точками в трехмерном пространстве:

\[d_{AB} = \sqrt{{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2 + (z_2 - z_1)^2}}\]

где A(-1;2;3) - координаты точки A, B(2;-1;0) - координаты точки B.

Подставляя значения координат, получим:

\[d_{AB} = \sqrt{{(2 - (-1))^2 + (-1 - 2)^2 + (0 - 3)^2}}\]

Вычисляя внутреннее выражение, получим:

\[d_{AB} = \sqrt{{9 + 9 + 9}} = \sqrt{{27}} = 3\sqrt{{3}}\]

Шаг 2: Найдем расстояние между вершинами B и C.

Повторим те же шаги, но используем координаты вершин B и C:

\[d_{BC} = \sqrt{{(-4 - 2)^2 + (2 - (-1))^2 + (-3 - 0)^2}}\]

Вычислим внутреннее выражение:

\[d_{BC} = \sqrt{{36 + 9 + 9}} = \sqrt{{54}} = 3\sqrt{{6}}\]

Шаг 3: Найдем расстояние между вершинами C и A.

Используем координаты вершин C и A:

\[d_{CA} = \sqrt{{(-4 - (-1))^2 + (2 - 2)^2 + (-3 - 3)^2}}\]

Вычисляем внутреннее выражение:

\[d_{CA} = \sqrt{{9 + 0 + 36}} = \sqrt{{45}} = 3\sqrt{{5}}\]

Шаг 4: Сложим полученные расстояния, чтобы найти периметр треугольника:

\[P = d_{AB} + d_{BC} + d_{CA} = 3\sqrt{{3}} + 3\sqrt{{6}} + 3\sqrt{{5}}\]

Таким образом, периметр треугольника, заданного координатами вершин A(-1;2;3), B(2;-1;0) и C(-4;2;-3), равен \(P = 3\sqrt{{3}} + 3\sqrt{{6}} + 3\sqrt{{5}}\).