Каков период дифракционной решетки, если красная линия 2-го порядка находится на расстоянии 14,2 см от средней линии

Raduzhnyy_Sumrak

67

Для решения данной задачи, нам понадобятся некоторые формулы и константы из оптики. Итак, начнем.

Первое, что нам необходимо сделать - это найти период дифракционной решетки. Дано, что красная линия 2-го порядка находится на расстоянии 14,2 см от средней линии. Мы знаем, что для дифракционной решетки, угол боковых максимумов \( \theta \) связан с порядком \( m \), длиной волны \( \lambda \) и периодом решетки \( d \) следующим образом:

\[ \sin(\theta) = m \cdot\frac{\lambda}{d} \]

где \( m \) - порядок минимума, \( \lambda \) - длина волны, \( d \) - период решетки.

Так как известно расстояние между линией 2-го порядка и средней линией, мы можем найти угол \( \theta \). Для этого воспользуемся тригонометрической функцией тангенс:

\[ \tan(\theta) = \frac{{\text{{противоположный катет}}}}{{\text{{прилежащий катет}}}} \]

Здесь противоположный катет - 14,2 см (0,142 м), а прилежащий катет - расстояние от решетки до экрана, которое составляет 1,5 м. Таким образом, угол \( \theta \) равен:

\[ \theta = \arctan \left(\frac{0.142}{1.5}\right) \]

После нахождения угла \( \theta \), можем выразить период решетки \( d \) через известные величины:

\[ d = \frac{m \cdot \lambda}{\sin(\theta)} \]

Так как мы ищем период решетки, то нас интересует значение \( d \) для \( m = 2 \). Теперь, чтобы найти длину волны красных лучей и ширину спектра 2-го порядка, мы можем воспользоваться следующими формулами:

Длина волны:
\[ \lambda = \frac{d \cdot \sin(\theta)}{m} \]

Ширина спектра 2-го порядка:
\[ \Delta\lambda = \frac{\lambda}{d} \]

Теперь подставим все известные значения в формулы и рассчитаем результат.

1. Найдем значение угла \( \theta \):
\[ \theta = \arctan \left(\frac{0.142}{1.5}\right) \approx 5.75^\circ \]

2. Рассчитаем период решетки \( d \):
\[ d = \frac{2 \cdot 4 \times 10^{-7}}{\sin(5.75^\circ)} \approx 1.562 \times 10^{-6} \text{ м} \]

3. Найдем длину волны \( \lambda \):
\[ \lambda = \frac{1.562 \times 10^{-6} \cdot \sin(5.75^\circ)}{2} \approx 4 \times 10^{-7} \text{ м} \]

4. Рассчитаем ширину спектра 2-го порядка \( \Delta\lambda \):
\[ \Delta\lambda = \frac{4 \times 10^{-7}}{1.562 \times 10^{-6}} \approx 0.256 \times 10^{-7} \text{ м} \]

Таким образом, период дифракционной решетки составляет приблизительно \( 1.562 \times 10^{-6} \) метров. Длина волны красных лучей равна \( 4 \times 10^{-7} \) метров, а ширина спектра 2-го порядка составляет примерно \( 0.256 \times 10^{-7} \) метров.