Каков потенциал в центре полукольца радиусом R, на котором равномерно распределен заряд с линейной плотностью t

Вадим

46

Для решения задачи о потенциале в центре полукольца, радиусом R, на котором распределен заряд с линейной плотностью t, мы можем использовать принцип суперпозиции, который гласит, что потенциал в точке, полученный от нескольких зарядов, является суммой потенциалов, создаваемых каждым из них.

Для начала, мы можем разделить полукруг на маленькие элементарные заряды \(dq\) и найти потенциал \(dV\) от каждого из них. Затем мы проинтегрируем по всем элементарным зарядам, чтобы найти общий потенциал.

Для нахождения потенциала от каждого элементарного заряда \(dq\), мы можем использовать формулу для потенциала точечного заряда в произвольной точке. Формула для потенциала, создаваемого точечным зарядом \(dq\), находящимся на расстоянии \(r\) от данной точки, выглядит следующим образом:

\[dV = \frac{{k \cdot dq}}{{r}}\]

где \(k\) - электрическая постоянная, равная приблизительно \(8,99 \times 10^9 \, \text{Н} \cdot \text{м}^2/\text{Кл}^2\).

Чтобы найти потенциал \(dV\) от элементарного заряда \(dq\), мы должны сначала найти расстояние \(r\) между элементарным зарядом и заданной точкой. В данной задаче точка находится в центре полукольца. Поскольку заряд равномерно распределен по ободу полукольца, расстояние \(r\) будет равно радиусу полукольца \(R\).

Теперь, запишем формулу в виде:

\[dV = \frac{{k \cdot dq}}{{R}}\]

Мы знаем, что заряд \(dq\) задан линейной плотностью \(t\), которая равна 0,4 мкКл/м. Чтобы найти \(dq\), мы можем умножить плотность \(t\) на длину элементарного заряда \(dl\). В данном случае \(dl\) - это длина элементарного заряда вдоль окружности полукольца. Мы можем выбрать маленькую дугу окружности длиной \(dl\) и выразить ее через угол \(\theta\) и радиус полукольца \(R\). Мы можем использовать формулу для длины дуги окружности:

\[dl = R \cdot d\theta\]

где \(d\theta\) - это очень маленький угол.

Теперь мы можем выразить \(dq\):

\[dq = t \cdot dl = t \cdot R \cdot d\theta\]

Теперь мы можем подставить \(dq\) в формулу для \(dV\):

\[dV = \frac{{k \cdot t \cdot R \cdot d\theta}}{{R}} = k \cdot t \cdot d\theta\]

Теперь у нас есть выражение для \(dV\) от элементарного заряда \(dq\). Чтобы найти общий потенциал \(V\) в точке в центре полукольца, мы должны проинтегрировать это выражение по всем элементарным зарядам.

\[V = \int_{0}^{\pi} V = \int_{0}^{\pi} k \cdot t \cdot d\theta\]

Интегрируя это выражение:

\[V = k \cdot t \cdot \int_{0}^{\pi} d\theta = k \cdot t \cdot \left[ \theta \right]_{0}^{\pi} = k \cdot t \cdot (\pi - 0) = k \cdot t \cdot \pi\]

Теперь, чтобы получить итоговую формулу для потенциала \(V\), мы можем подставить значение \(t\), которое у нас есть \(t = 0,4 \, \text{мкКл/м}\), и значение электрической постоянной \(k\):

\[V = (8,99 \times 10^9 \, \text{Н} \cdot \text{м}^2/\text{Кл}^2) \cdot (0,4 \times 10^{-6} \, \text{Кл/м}) \cdot \pi\]

Вычисляя эту формулу, мы получим численное значение потенциала \(V\) в центре полукольца радиусом \(R\), на котором равномерно распределен заряд с линейной плотностью \(t = 0,4 \, \text{мкКл/м}\).