Каков предел функции 3x^2 - x - 10 / 7x - x^2 - 10 при x0 = 1 и при x

Дмитриевна

45

Хорошо, давайте начнем с вычисления предела функции \(f(x) = \frac{{3x^2 - x - 10}}{{7x - x^2 - 10}}\) при \(x_0 = 1\). Для этого мы можем использовать так называемый алгоритм пошагового решения.

Шаг 1: Замените \(x\) в выражении \(f(x)\) на \(x_0\):

\[f(x_0) = \frac{{3x_0^2 - x_0 - 10}}{{7x_0 - x_0^2 - 10}}\]

Шаг 2: Подставьте \(x_0 = 1\) в выражение и рассчитайте:

\[f(1) = \frac{{3(1^2) - 1 - 10}}{{7(1) - 1^2 - 10}}\]
\[f(1) = \frac{{3 - 1 - 10}}{{7 - 1 - 10}}\]
\[f(1) = \frac{{-8}}{{-4}}\]
\[f(1) = 2\]

Таким образом, предел функции \(f(x)\) при \(x_0 = 1\) равен 2.

Теперь давайте вычислим предел функции \(f(x)\) при \(x \to \infty\). Для этого мы также будем использовать пошаговый подход.

Шаг 1: Приведите выражение \(f(x)\) к простейшему виду, деля числитель и знаменатель на \(x^2\), так как \(x^2\) является наибольшей степенью переменной \(x\):

\[f(x) = \frac{{\frac{{3x^2}}{{x^2}} - \frac{{x}}{{x^2}} - \frac{{10}}{{x^2}}}}{{\frac{{7x}}{{x^2}} - \frac{{x^2}}{{x^2}} - \frac{{10}}{{x^2}}}}\]
\[f(x) = \frac{{\frac{{3}}{{1}} - \frac{{1}}{{x}} - \frac{{10}}{{x^2}}}}{{\frac{{7}}{{x}} - \frac{{x^2}}{{x^2}} - \frac{{10}}{{x^2}}}}\]
\[f(x) = \frac{{3 - \frac{{1}}{{x}} - \frac{{10}}{{x^2}}}}{{\frac{{7}}{{x}} - 1 - \frac{{10}}{{x^2}}}}\]

Шаг 2: Выполните вычисления, когда \(x\) стремится к бесконечности, это означает, что \(x\) становится очень большим:

\[f(x) = \frac{{3 - \frac{{1}}{{x}} - \frac{{10}}{{x^2}}}}{{\frac{{7}}{{x}} - 1 - \frac{{10}}{{x^2}}}}\]
\[f(x) = \frac{{3 - 0 - 0}}{{0 - 1 - 0}}\]
\[f(x) = \frac{{3}}{{-1}}\]
\[f(x) = -3\]

Таким образом, предел функции \(f(x)\) при \(x \to \infty\) равен -3.

Надеюсь, этот подробный пошаговый ответ помог вам понять, как рассчитать предел функции в разных условиях. Если у вас есть еще вопросы или задачи, не стесняйтесь задавать!