Каков промежуток времени от начала движения до остановки вращающегося тела, при условии, что угловая скорость меняется

Magicheskiy_Vihr

34

Чтобы решить эту задачу, нам необходимо выразить угол поворота и промежуток времени через заданный закон изменения угловой скорости.

Для начала, мы знаем, что угловая скорость \(w\) задана формулой \(w = 2 - 8t^2\), где \(t\) - время. Чтобы найти угол поворота, мы будем интегрировать угловую скорость по времени.

Интегрируя \(w\) по \(t\), получаем:

\[
\theta = \int w \, dt = \int (2 - 8t^2) \, dt
\]

Выполняем интегрирование:

\[
\theta = 2t - \frac{8}{3}t^3 + C
\]

Где \(C\) - постоянная интегрирования. Теперь мы можем перейти ко второй части задачи - нахождению промежутка времени от начала движения до остановки вращающегося тела.

Условие остановки вращающегося тела означает, что угловая скорость \(w\) будет равна нулю. Давайте найдем момент времени, когда \(w\) равно нулю:

\[
2 - 8t^2 = 0
\]

Решение этого уравнения дает нам два значения для \(t\): \(t = -\frac{\sqrt{2}}{2}\) и \(t = \frac{\sqrt{2}}{2}\). Однако, поскольку мы рассматриваем только положительное время, то решение для \(t\) будет \(t = \frac{\sqrt{2}}{2}\).

Теперь мы можем найти промежуток времени, подставив \(t = \frac{\sqrt{2}}{2}\) в уравнение:

\[
\theta = 2\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right) - \frac{8}{3}\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)^3 + C
\]

Упрощая выражение, получаем:

\[
\theta = \sqrt{2} - \frac{2\sqrt{2}}{3} + C
\]

Таким образом, промежуток времени от начала движения до остановки вращающегося тела равен \(\theta = \sqrt{2} - \frac{2\sqrt{2}}{3} + C\).

Чтобы найти угол поворота за этот промежуток времени, мы должны учесть постоянную \(C\), которая зависит от начальной угловой позиции тела. Если у нас нет информации о начальной угловой позиции, то мы не сможем точно определить угол поворота.