Какой положительный корень уравнения sin(x+П/4)=cos(х+П/4) является наименьшим?

Золотой_Рай

2

Чтобы найти наименьший положительный корень уравнения \(\sin(x+\frac{\pi}{4})=\cos(x+\frac{\pi}{4})\), нам нужно рассмотреть область изменения функций \(\sin\) и \(\cos\) и найти их пересечение.

Обратимся к графикам функций \(\sin\) и \(\cos\) на интервале от 0 до \(\pi\):

\[
\begin{align*}
\text{График } y=\sin(x) & : \\
\begin{array}{|c|c|}
\hline
x & \sin(x) \\
\hline
0 & 0 \\
\frac{\pi}{6} & \frac{1}{2} \\
\frac{\pi}{4} & \frac{\sqrt{2}}{2} \\
\frac{\pi}{3} & \frac{\sqrt{3}}{2} \\
\frac{\pi}{2} & 1 \\
\hline
\end{array}
\end{align*}
\]

\[
\begin{align*}
\text{График } y=\cos(x) & : \\
\begin{array}{|c|c|}
\hline
x & \cos(x) \\
\hline
0 & 1 \\
\frac{\pi}{6} & \frac{\sqrt{3}}{2} \\
\frac{\pi}{4} & \frac{\sqrt{2}}{2} \\
\frac{\pi}{3} & \frac{1}{2} \\
\frac{\pi}{2} & 0 \\
\hline
\end{array}
\end{align*}
\]

Мы видим, что графики \(\sin(x)\) и \(\cos(x)\) пересекаются на точке \((x,y)=\left(\frac{\pi}{4},\frac{\sqrt{2}}{2}\right)\).

Так как уравнение задает пересечение функций, мы можем сказать, что положительные корни уравнения будут лежать в интервалах \((0,\frac{\pi}{4})\), \((\pi, \frac{5\pi}{4})\), \((2\pi, \frac{9\pi}{4})\) и так далее.

Из этих интервалов нас интересует наименьший положительный корень. Давайте решим уравнение в интервале \((0,\frac{\pi}{4})\):

\[
\begin{align*}
\sin(x+\frac{\pi}{4}) & = \cos(x+\frac{\pi}{4}) \\
\frac{\sqrt{2}}{2} & = \frac{\sqrt{2}}{2} \\
\end{align*}
\]

Мы видим, что при \(x=0\) выполнено уравнение. Поэтому наименьший положительный корень уравнения \(\sin(x+\frac{\pi}{4})=\cos(x+\frac{\pi}{4})\) равен \(x=0\).

Помимо этого корня, у данного уравнения будет бесконечное количество корней, которые будут повторяться через каждый период синусоиды и косинусоиды.

Надеюсь, это пошаговое решение поможет вам лучше понять, как найти наименьший положительный корень данного уравнения. Если у вас есть дополнительные вопросы, пожалуйста, не стесняйтесь спрашивать!