Каков путь, пройденный точкой в первые 4 секунды движения, если её прямолинейное движение описывается уравнением

Lisichka123_2138

2

Для решения этой задачи нам понадобится определить положение точки в конечный момент времени и положение точки в начальный момент времени. Затем мы найдем разность между этими положениями, чтобы определить путь, пройденный точкой. Давайте начнем сначала.

Уравнение движения данной точки имеет вид \( r = 3t^2 \mathbf{i} + 4t^2 \mathbf{j} + 8t\mathbf{k} \), где \( \mathbf{i} \), \( \mathbf{j} \) и \( \mathbf{k} \) - это орты стандартного базиса в трехмерном пространстве, а \( t \) - время.

Для того, чтобы найти положение точки в конечный момент времени, который в данном случае составляет 4 секунды, мы подставим \( t = 4 \) в уравнение:

\[ r_2 = 3 \cdot (4^2) \mathbf{i} + 4 \cdot (4^2) \mathbf{j} + 8 \cdot 4 \mathbf{k} \]

Выполняя простые вычисления, получим:

\[ r_2 = 48 \mathbf{i} + 64 \mathbf{j} + 32 \mathbf{k} \]

Теперь найдем положение точки в начальный момент времени, который равен 0. Для этого мы подставим \( t = 0 \) в уравнение:

\[ r_1 = 3 \cdot (0^2) \mathbf{i} + 4 \cdot (0^2) \mathbf{j} + 8 \cdot 0 \mathbf{k} \]

Опять же, выполняя простые вычисления, получим:

\[ r_1 = 0 \mathbf{i} + 0 \mathbf{j} + 0 \mathbf{k} \]

Теперь, чтобы определить путь, пройденный точкой, воспользуемся формулой разности двух векторов:

\[ \Delta r = r_2 - r_1 \]

Подставляя значения рассчитанных положений точек, получим:

\[ \Delta r = (48-0) \mathbf{i} + (64-0) \mathbf{j} + (32-0) \mathbf{k} \]

Продолжая вычисления, получим:

\[ \Delta r = 48 \mathbf{i} + 64 \mathbf{j} + 32 \mathbf{k} \]

Таким образом, полный путь, пройденный точкой за первые 4 секунды движения, равен \( 48 \mathbf{i} + 64 \mathbf{j} + 32 \mathbf{k} \).