Каков радиус барабана и натяжение нити, если груз массой 3 кг привязан к нити, намотанной на барабан, и груз опускается

Осень

10

Дано:
Масса груза $m=3\text{кг}$,
Ускорение груза $a=2,0{\text{м/с}}^2$,
Значение момента инерции барабана $I=3,0\text{кг}\cdot {\text{м}}^2$.

Нам нужно найти радиус барабана $R$ и натяжение нити $T$.

Рассмотрим свободное тело (груз) и напишем второй закон Ньютона для вращательного движения:
$\sum \tau =I\alpha$,
где $\sum \tau$ - сумма моментов сил, $I$ - момент инерции, $\alpha$ - угловое ускорение.

Момент инерции барабана можно найти, используя формулу для момента инерции тонкого цилиндра:
$I=\frac{1}{2}m{R}^2$,
где $m$ - масса цилиндра, $R$ - радиус цилиндра.

Из этой формулы найдем радиус барабана $R$:
$R=\sqrt{\frac{2I}{m}}$.

Далее, угловое ускорение $\alpha$ связано с линейным ускорением груза $a$ и радиусом барабана $R$ следующей формулой:
$a=R\alpha$.

Теперь мы можем найти угловое ускорение $\alpha$:
$\alpha =\frac{a}{R}$.

Осталось найти натяжение нити $T$. Для этого воспользуемся вторым законом Ньютона для груза:
$T-mg=ma$,
где $g$ - ускорение свободного падения.

Теперь мы можем найти натяжение нити $T$:
$T=m(g+a)$.

Подставим значения в формулы и рассчитаем результат:

1. Рассчитаем радиус барабана $R$:
$$R=\sqrt{\frac{2\cdot 3,0\text{кг}\cdot {\text{м}}^2}{3\text{кг}}}=\sqrt{2,0{\text{м}}^2}=1,414\text{м}.$$

2. Рассчитаем угловое ускорение $\alpha$:
$$\alpha =\frac{2,0{\text{м/с}}^2}{1,414\text{м}}\approx 1,414{\text{рад/с}}^2.$$

3. Рассчитаем натяжение нити $T$:
$$T=3\text{кг}\cdot (9,8{\text{м/с}}^2+2,0{\text{м/с}}^2)=33,4\text{Н}.$$

Итак, радиус барабана составляет примерно 1,414 метра, а натяжение нити равно 33,4 Ньютона.