Каков радиус окружности, которая описывает треугольник ABC, если AB = 13 см, BC = 14 см, и AC = 15 см, а AN - высота

Krosha

54

Для решения этой задачи мы можем использовать теорему Пифагора и свойства высоты треугольника.

1. Сначала найдем площадь треугольника ABC, используя формулу Герона. Площадь треугольника можно выразить как половину произведения длин его сторон и синуса угла между ними:

\[S = \frac{\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}}{2}\]

где \(p\) - полупериметр треугольника, \(a\), \(b\), \(c\) - длины сторон треугольника.

В нашем случае, длины сторон треугольника равны \(a = 13\) см, \(b = 14\) см и \(c = 15\) см. Полупериметр будет равен \(\frac{a + b + c}{2}\). Подставим значения в формулу:

\[p = \frac{13 + 14 + 15}{2} = 21\]

\[S = \frac{\sqrt{21(21-13)(21-14)(21-15)}}{2} = \frac{\sqrt{21 \cdot 8 \cdot 7 \cdot 6}}{2} = \frac{\sqrt{21 \cdot 2^3 \cdot 7 \cdot 3}}{2} = \frac{2 \cdot \sqrt{3 \cdot 7}}{2} = \sqrt{21 \cdot 3} = \sqrt{63}\]

2. Высота треугольника AN перпендикулярна к стороне BC и делит треугольник на два прямоугольных треугольника ABN и ACN. Так как высота является перпендикуляром, то она проходит через вершину треугольника ABC, а значит, радиус окружности, описывающей треугольник ABC, будет равен \(AN\).

3. Для нахождения высоты в треугольнике ABC воспользуемся следующей формулой:

\[AN = \frac{2S}{BC}\]

Подставим значения и найдем высоту \(AN\):

\[AN = \frac{2 \cdot \sqrt{63}}{14} = \frac{2 \sqrt{9 \cdot 7}}{14} = \frac{2 \cdot 3 \cdot \sqrt{7}}{14} = \frac{6 \sqrt{7}}{14} = \frac{3 \sqrt{7}}{7}\]

Таким образом, радиус окружности, описывающей треугольник ABC, равен \(AN = \frac{3 \sqrt{7}}{7}\).