Каков радиус окружности, которая вписана в правильный шестиугольник abcdef с длиной стороны

Глеб_4890

10

Для начала, давайте обозначим некоторые величины, чтобы разобраться в задаче. Пусть \(R\) - радиус вписанной окружности, \(a\) - длина стороны правильного шестиугольника, а \(A\) - его площадь.

Чтобы решить эту задачу, мы можем воспользоваться свойством вписанной окружности. Вписанная окружность всегда касается всех сторон многоугольника в его серединах.

Для правильного шестиугольника существует связь между радиусом вписанной окружности \(R\) и длиной его стороны \(a\). Эту связь можно выразить следующим образом:

\[R = \frac{a}{2 \sqrt{3}}\]

Давайте разберемся, как мы можем получить данное выражение.

Мы знаем, что треугольник, образованный радиусом вписанной окружности и двумя сторонами правильного шестиугольника, является равносторонним треугольником с углом \(30^\circ\) в вершине. Поэтому, его сторона равна \(\frac{a}{2}\).

Теперь, рассмотрим правильный треугольник, образованный радиусом вписанной окружности, его высотой и апофемой шестиугольника (лучом, проведенным из центра окружности в середину стороны шестиугольника). Это также равносторонний треугольник, и его сторона равна радиусу окружности \(R\).

Мы знаем, что в таком треугольнике соотношение сторон составляет \(1:\sqrt{3}:2\). Так как сторона напротив угла в \(30^\circ\) равна \(\frac{a}{2}\), сторона напротив угла в \(60^\circ\) равна \(a\). Поэтому, сторона напротив угла в \(90^\circ\) (то есть апофема шестиугольника) будет равна \(2 \cdot \frac{a}{2} = a\).

Теперь, мы можем рассмотреть прямоугольный треугольник, образованный радиусом вписанной окружности, его половиной \(a\) и \(R\) (гипотенуза). В этом треугольнике, сторона \(a\) является противолежащей катетом, а гипотенуза \(R\) должна быть в два раза больше и она равна \(2R\).

Теперь, мы можем использовать теорему Пифагора, чтобы найти \(R\):

\[(2R)^2 = a^2 + \left(\frac{a}{2}\right)^2\]
\[4R^2 = a^2 + \frac{a^2}{4}\]
\[4R^2 = \frac{4a^2 + a^2}{4}\]
\[4R^2 = \frac{5a^2}{4}\]
\[R^2 = \frac{5a^2}{16}\]
\[R = \frac{a}{2 \sqrt{3}}\]

Таким образом, радиус окружности, вписанной в правильный шестиугольник со стороной \(a\), равен \(\frac{a}{2 \sqrt{3}}\).

Для проверки ответа, вы также можете немного упростить это выражение, приняв во внимание, что \(\frac{1}{2 \sqrt{3}}\) равно \(\frac{\sqrt{3}}{6}\).