Каков радиус окружности, которую можно вписать в треугольник KLC, если в пирамиде ABCM ребро MC перпендикулярно

Арсений

40

Для начала, рассмотрим треугольник AMV. У нас есть известные значения сторон: AM = 14 см, VM = 12 см и AB = 10 см.

Используем формулу для длины средней линии треугольника:
\[KL = \frac{1}{2} \sqrt{2(MA^2 + MV^2) - AV^2}.\]

Подставим значения и вычислим KL:
\[KL = \frac{1}{2} \sqrt{2(14^2 + 12^2) - 10^2}.\]
\[KL = \frac{1}{2} \sqrt{2(196 + 144) - 100}.\]
\[KL = \frac{1}{2} \sqrt{2 \cdot 340 - 100}.\]
\[KL = \frac{1}{2} \sqrt{680 - 100}.\]
\[KL = \frac{1}{2} \sqrt{580}.\]
\[KL = \frac{\sqrt{580}}{2}.\]

Теперь, чтобы найти радиус окружности, вписанной в треугольник KLC, используем формулу:
\[r = \frac{2 \cdot S}{P},\]
где S - площадь треугольника KLC, а P - периметр треугольника KLC.

Найдем S и P:
1. Найдем высоту треугольника KLC, используя формулу:
\[h = \frac{2 \cdot S}{KL},\]
где S - площадь треугольника KLC, а KL - длина средней линии треугольника.

Подставим полученное значение KL:
\[h = \frac{2 \cdot S}{\frac{\sqrt{580}}{2}}.\]
\[h = \frac{4 \cdot S}{\sqrt{580}}.\]

2. Далее, найдем длины сторон треугольника KLC, используя теорему Пифагора.

Одна сторона треугольника равна KL, вторая сторона - радиус окружности, вписанной в треугольник, а третья сторона - внешняя сторона треугольника (KC), равная сумме сторон треугольника AMV.

Имеем:
\[KL^2 + r^2 = KC^2.\]
\[KL^2 + r^2 = (KA + AC)^2.\]
\[KL^2 + r^2 = (KA + (AV - VC))^2.\]
\[KL^2 + r^2 = (KL + (AM + MV))^2.\]
\[KL^2 + r^2 = (KL + (14 + 12))^2.\]
\[KL^2 + r^2 = (KL + 26)^2.\]
\[KL^2 + r^2 = KL^2 + 2 \cdot KL \cdot 26 + 26^2.\]
\[r^2 = 2 \cdot KL \cdot 26 + 26^2.\]

Теперь, мы знаем, что высота треугольника KLC равна \(h = \frac{4 \cdot S}{\sqrt{580}}\), а длина одной из боковых сторон \(2 \cdot KL \cdot 26\).

Площадь треугольника KLC можно найти, используя формулу герона:
\[S = \sqrt{p \cdot (p - KL) \cdot (p - KL) \cdot (p - 2 \cdot KL \cdot 26)},\]
где \(p\) - полупериметр треугольника.

\[p = \frac{KL + KL + 2 \cdot KL \cdot 26}{2}.\]
\[p = \frac{4 \cdot KL + 52 \cdot KL}{2}.\]
\[p = 28 \cdot KL.\]

Подставим значения в формулу площади:
\[S = \sqrt{28 \cdot KL \cdot (28 \cdot KL - KL) \cdot (28 \cdot KL - KL) \cdot (28 \cdot KL - 2 \cdot KL \cdot 26)}.\]
\[S = \sqrt{28 \cdot KL \cdot 27 \cdot 27 \cdot 28 \cdot KL - 2 \cdot KL \cdot 26)}.\]
\[S = \sqrt{28 \cdot KL \cdot 27 \cdot 27 (28 \cdot KL - 2 \cdot KL \cdot 26)}.\]
\[S = \sqrt{28 \cdot KL \cdot 27 \cdot 27 (28 \cdot KL - 52 \cdot KL)}.\]
\[S = \sqrt{28 \cdot KL \cdot 27 \cdot 27 (-24 \cdot KL)}.\]
\[S = \sqrt{9 \cdot 4 \cdot KL^2 \cdot 28 \cdot 9 \cdot (-24)}.\]
\[S = \sqrt{1296 \cdot KL^2 \cdot (-24)}.\]
\[S = \sqrt{-31104 \cdot KL^2}.\]
\[S = \sqrt{31104 \cdot KL^2}.\]
\[S = 176 \cdot KL.\]

Теперь, подставим найденные значения в формулу для радиуса:
\[r = \frac{2 \cdot S}{P}.\]
\[r = \frac{2 \cdot (176 \cdot KL)}{KL + KL + 2 \cdot KL \cdot 26}.\]
\[r = \frac{2 \cdot (176 \cdot KL)}{28 \cdot KL}.\]
\[r = \frac{352 \cdot KL}{28 \cdot KL}.\]
\[r = \frac{352}{28}.\]
\[r = 12.\]

Получается, что радиус окружности, которую можно вписать в треугольник KLC, равен 12 см.

Таким образом, правильный вариант ответа на задачу - г) 2√1/2.