Каков радиус окружности, описанной около треугольника, если сторона треугольника равна 6, а прилежащие углы равны

Sumasshedshiy_Reyndzher

37

Чтобы найти радиус окружности, описанной около треугольника, мы можем воспользоваться свойствами окружностей, описанных вокруг треугольников. Одно из таких свойств гласит, что радиус окружности, описанной около треугольника, является перпендикуляром, проведенным из центра окружности к одной из сторон треугольника.

Прилежащие углы треугольника имеют значения 35° и 115°. Чтобы найти третий угол треугольника, нам нужно вычислить разницу между 180° и суммой данных углов:

\(180° - (35° + 115°) = 30°\)

Теперь мы знаем, что треугольник имеет один угол размером 35°, другой - 115°, а третий угол равен 30°.

Далее, поскольку у треугольника имеется описанная окружность, мы можем провести перпендикуляр от центра окружности к одной из сторон треугольника. Пусть этот перпендикуляр пересекает сторону треугольника в точке \(A\), а продолжение стороны в точке \(B\).

Таким образом, мы получаем два прямоугольных треугольника: один со сторонами \(r, \frac{6}{2}\) и \(A\), а другой - с гипотенузой \(r\) и углом 30° при основании, равной \(\frac{6}{2}\).

В прямоугольном треугольнике \(r, \frac{6}{2}, A\) мы можем применить тригонометрию, используя тангенс угла 30°:

\(\tan(30°) = \frac{A}{\frac{6}{2}}\)

\(\frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{A}{3}\)

\(A = \frac{3}{\sqrt{3}}\)

Теперь мы знаем длину отрезка \(A\), который является перпендикуляром, проведенным от центра окружности к стороне треугольника.

Тогда радиус окружности можно найти, используя теорему Пифагора:

\(r^2 = A^2 + \left(\frac{6}{2}\right)^2\)

\(r^2 = \left(\frac{3}{\sqrt{3}}\right)^2 + 3^2\)

\(r^2 = \frac{3^2}{3} + 9\)

\(r^2 = 1 + 9\)

\(r^2 = 10\)

Итак, радиус окружности около треугольника, с данным значением стороны и прилежащих углов, равен \(\sqrt{10}\).