Найдите длину высоты, опущенной на гипотенузу прямоугольного треугольника, если известно, что катет и гипотенуза равны

Mango

68

Для решения этой задачи нам понадобится применить теорему Пифагора.

Для прямоугольного треугольника с катетами a и b и гипотенузой c верно, что:

\[c^2 = a^2 + b^2\]

Дано, что катет \(a = 16\) и гипотенуза \(c = 34\). Мы должны найти длину высоты \(h\), опущенной на гипотенузу.

Высота, опущенная на гипотенузу, делит исходный треугольник на два подобных треугольника, каждый из которых также является прямоугольным.

Таким образом, мы можем составить две подобные теоремы Пифагора для наших подтреугольников.

Для меньшего треугольника, где \(a = h\) (высота), \(b = 16\) (меньший катет) и \(c = x\) (часть гипотенузы):

\[x^2 = h^2 + 16^2\]

Для большего треугольника, где \(a = 34 - h\) (остаток гипотенузы), \(b = h\) (высота) и \(c = 34\) (гипотенуза):

\[34^2 = (34 - h)^2 + h^2\]

Теперь мы можем решить систему уравнений методом подстановки или исключения, чтобы найти значение \(h\).