Каков радиус окружности, описанной вокруг треугольника АМК, если сторона МК равна 12 см и противолежащий этой стороне

Krosha

6

Чтобы найти радиус описанной окружности, мы можем использовать закон синусов для треугольника АМК. Закон синусов гласит:

\[\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C}\]

Где a, b и c - стороны треугольника, A, B и C - соответствующие противолежащие углы.

В нашем случае, сторона АМК является радиусом описанной окружности, сторона МК равна 12 см и противолежащий стороне МК угол равен 150 градусов.

Обозначим радиус описанной окружности как R. Тогда мы имеем:

\[\frac{12}{\sin 150^\circ} = \frac{R}{\sin A}\]

Для вычисления синуса 150 градусов, мы можем использовать свойство синуса дополнительного угла: \(\sin (180^\circ - \theta) = \sin \theta\). Таким образом, \(\sin 150^\circ = \sin(180^\circ - 150^\circ) = \sin 30^\circ = \frac{1}{2}\).

Подставим это значение в наше уравнение:

\[\frac{12}{\frac{1}{2}} = R \cdot \sin A\]

Упростив, получим:

\[24 = R \cdot \sin A\]

Теперь нам нужно найти синус угла A. Угол A - это угол, противолежащий стороне АМК в треугольнике АМК. Для этого мы можем использовать свойство суммы углов треугольника: сумма трех углов треугольника равна 180 градусов. В нашем случае, угол А равен 180 градусов минус 90 градусов (угол АМК) минус 150 градусов (угол МК):

\[A = 180^\circ - 90^\circ - 150^\circ = -60^\circ\]

Заметим, что синус угла -60 градусов равен синусу 60 градусов с противоположным знаком. То есть:

\[\sin (-60^\circ) = -\sin 60^\circ = -\frac{\sqrt{3}}{2}\]

Подставим это значение в наше уравнение:

\[24 = R \cdot \left(-\frac{\sqrt{3}}{2}\right)\]

Разделим обе стороны на \(-\frac{\sqrt{3}}{2}\):

\[\frac{24}{-\frac{\sqrt{3}}{2}} = R\]

Для более простой записи, домножим числитель и знаменатель на \(\frac{2\sqrt{3}}{2\sqrt{3}}\):

\[24 \cdot \frac{2\sqrt{3}}{2\sqrt{3}} = R\]

Упростим:

\[48\sqrt{3} = R\]

Итак, радиус описанной окружности равен \(48\sqrt{3}\) см.