Каков радиус окружности, вписанной в данный павнобедренный треугольник, если известно, что высота, проведенная

Morskoy_Skazochnik

61

Давайте решим эту задачу пошагово. У нас есть павнобедренный треугольник, где высота проведена к его основанию. Обозначим сторону этого треугольника, к которой проводится высота, как a, а высоту как h. Поскольку треугольник павнобедренный, то его другие две стороны, которые равны между собой, также обозначим как a.

Для начала посмотрим на вершинный угол треугольника, то есть угол между двумя равными сторонами. Обозначим этот угол как α.

Поскольку вписанная окружность касается каждой из сторон треугольника в ее средней точке, мы можем нарисовать треугольник, вписанный в окружность, используя радиус вместо высоты h. Обозначим радиус окружности как r.

Теперь у нас есть павнобедренный треугольник с высотой h и вписанном треугольник с радиусом r. Мы также можем заметить, что угол между вершиной павнобедренного треугольника и точкой касания окружности равен α/2. Поскольку павнобедренный треугольник имеет три угла (α, α и 180-2α), мы можем записать уравнение для суммы этих углов:

α + α + (180-2α) = 180

Сокращаем:

2α - 2α + 180 = 180

Условие выполняется, поэтому это правильное уравнение.

Теперь у нас есть павнобедренный треугольник, в котором мы знаем высоту h и угол α. Мы хотим найти радиус окружности r.

Как мы уже указали, вершинный угол павнобедренного треугольника равен α/2. Используя теорему синусов в этом треугольнике, мы можем записать:

\(\frac{{h}}{{\sin(\frac{{\alpha}}{{2}})}} = r\)

Из этого уравнения мы можем найти радиус окружности r.

Это и есть ответ на задачу.