Каков радиус окружности, вписанной в равнобедренную трапецию, если острый угол трапеции составляет 30 градусов?

Станислав

32

Для того чтобы найти радиус окружности, вписанной в равнобедренную трапецию, нам понадобится знание свойств равнобедренной трапеции и окружности, вписанной в нее. Давайте рассмотрим это подробнее.

Свойства равнобедренной трапеции:
1. Две диагонали равны между собой.
2. Противолежащие углы при основании равны.

Свойства окружности, вписанной в трапецию:
1. Центр окружности лежит на пересечении диагоналей трапеции.
2. Линии, соединяющие вершины трапеции с точками касания окружности, являются радиусами этой окружности.
3. Сумма длин оснований трапеции равна периметру окружности.

По условию мы знаем, что острый угол трапеции составляет 30 градусов. Так как трапеция равнобедренная, то острые углы при основании равны, а значит каждый из них равен (180 - 30) / 2 = 75 градусов.

Чтобы найти площадь трапеции, нам понадобится знание формулы для расчета площади равнобедренной трапеции:

\[S = \frac{{(a+b)h}}{2}\]

Где:
S - площадь трапеции,
a и b - длины оснований трапеции,
h - высота трапеции.

Рисунок для наглядности:

             C-----D

            /       \

           /         \

          /           \

         /             \

        /_______________\

       A                 B

Теперь найдем площадь трапеции:

Для этого нам понадобятся длины оснований трапеции. Для удобства обозначим основание CD как a, а основание AB как b.

Так как проведенные от вершин трапеции к точкам касания с окружностью являются радиусами, то длины этих отрезков равны радиусу окружности. Пусть радиус окружности равняется r.

Так как трапеция равнобедренная, то отрезки AD и BC равны между собой и равны радиусу окружности r.

Также мы знаем, что угол ADC является прямым углом (90 градусов), а значит угол BDC также является прямым углом.

Теперь рассмотрим треугольник BDC. В данном треугольнике у нас есть прямой угол BDC (90 градусов), острый угол BCD (75 градусов) и нам нужно найти острый угол CBD.

Используя свойство треугольника, сумма углов треугольника равна 180 градусов, найдем неизвестный угол CBD:

180 - 90 - 75 = 15 градусов.

Так как у нас получился прямоугольный треугольник BDC с одним из острых углов, равным 30 градусов, мы можем применить тригонометрические соотношения, чтобы найти отношение длин сторон.

Мы можем использовать соотношение тангенса:

\[\tan 30 = \frac{{BC}}{{CD}}\]

Так как BC = r и CD = a, получаем:

\[\frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{r}{a}\]

Отсюда можно выразить r через a:

\[r = \frac{a}{\sqrt{3}}\]

Аналогичным образом рассмотрим треугольник ADB.

У нас есть острый угол ADB (30 градусов) и нам нужно найти острый угол BAD.

Так как угол BAD + угол ADB + угол ABD = 180 градусов, а угол ADB = 30 градусов и угол ABD = 90 градусов, то угол BAD = 180 - 30 - 90 = 60 градусов.

Результатом является равнобедренная трапеция, поэтому BC = AD = r.

Теперь, чтобы найти площадь трапеции, нам нужно найти высоту h. Для этого мы можем использовать теорему Пифагора:
BC^2 = AB^2 - AC^2

Так как у нас уже есть значения для BC (r), AB (b) и угол между этими сторонами (30 градусов), мы можем выразить высоту h через эти значения:

\[h = BC \cdot \tan 30 = r \cdot \tan 30 = \frac{a}{\sqrt{3}} \cdot \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{a}{3}\]

Теперь мы можем найти площадь трапеции, используя формулу:

\[S = \frac{{(a+b)h}}{2} = \frac{{(a+b) \cdot \frac{a}{3}}}{2} = \frac{{a^2 + ab}}{6}\]

Так что площадь равнобедренной трапеции составит \(\frac{{a^2 + ab}}{6}\)