Каков радиус окружности, вписанной в треугольник MNK, если известно, что угол M равен 14°, угол K равен 16°, а сторона

Максим

64

Для решения данной задачи воспользуемся свойствами вписанной окружности в треугольник. Одно из таких свойств гласит, что угол, образованный хордой и дугой окружности, равен половине центрального угла, соответствующего той же дуге.

Итак, у нас даны углы M и K, а также сторона MK. Обозначим центр вписанной окружности как O, а радиус этой окружности как r.

Найдем угол N. Так как сумма углов треугольника равна 180°, то угол N будет равен:

\( \angle N = 180° - \angle M - \angle K \)
\( \angle N = 180° - 14° - 16° = 150° \)

Затем найдем центральные углы, соответствующие дугам MN, NK и KM.

Угол, образованный дугой MN, равен углу N, то есть 150°.
Угол, образованный дугой NK, равен углу K, то есть 16°.
Угол, образованный дугой KM, равен углу M, то есть 14°.

Теперь мы можем применить свойство вписанной окружности: угол, образованный хордой и соответствующей центральной дугой, равен половине центрального угла.

Таким образом, углы NMO, NKO и MKO равны половине соответствующих центральных углов:

\( \angle NMO = \frac{1}{2} \angle N = \frac{1}{2} \cdot 150° = 75° \)
\( \angle NKO = \frac{1}{2} \angle K = \frac{1}{2} \cdot 16° = 8° \)
\( \angle MKO = \frac{1}{2} \angle M = \frac{1}{2} \cdot 14° = 7° \)

Так как угол ONM и угол ONK являются смежными и дополняются до 180° (так как оба являются дополнениями углов NMO и NKO, соответственно), то они равны:

\( \angle ONM = 180° - \angle NMO = 180° - 75° = 105° \)
\( \angle ONK = 180° - \angle NKO = 180° - 8° = 172° \)

Сумма углов треугольника ONK равна 180°, поэтому угол ONK равен:

\( \angle ONK = 180° - \angle ONM = 180° - 105° = 75° \)

Теперь у нас есть два равных угла (ONM и NMO) в треугольнике ONM, следовательно, этот треугольник является равнобедренным.

Таким образом, сторона NM равна стороне MO, а это равно половине отрезка MK:

\( NM = MO = \frac{1}{2} \cdot MK \)

Используя формулу \( длина \: дуги = \text{расстояние} \cdot \text{центральный угол} \), получим:

\( r = \frac{1}{2} \cdot MK \cdot \angle MKO \)

Зная, что радиус окружности, вписанной в треугольник, является расстоянием от центра окружности до любой стороны треугольника, мы можем найти радиус, подставив известные значения:

\( r = \frac{1}{2} \cdot MK \cdot \angle MKO \)
\( r = \frac{1}{2} \cdot MK \cdot 7° \)
\( r = \frac{1}{2} \cdot MK \cdot 7° = \frac{7}{2}° \cdot MK \)

Таким образом, радиус окружности, вписанной в треугольник MNK, равен \( \frac{7}{2}° \cdot MK \).