Каков радиус описанной окружности треугольника, если один угол треугольника составляет 45°, а противолежащая сторона

Ягуар

53

Для решения этой задачи нам понадобится использовать тригонометрию и связь между радиусом описанной окружности треугольника и его сторонами.

В данном случае, по заданию, у нас есть один угол треугольника равный 45° и противолежащая ему сторона равна 42 см. Для определения радиуса описанной окружности треугольника, нам понадобится косинус угла 45°, так как косинус является отношением противолежащей стороны к гипотенузе.

Гипотенуза треугольника может быть найдена с использованием теоремы Пифагора, так как мы уже знаем одну из сторон. Для треугольника с углом 45° в качестве гипотенузы будет выступать сторона, противоположная этому углу. Поэтому гипотенузой является сторона, равная 42 см.

Применяя формулу косинуса, получим:
\[\cos(45^{\circ}) = \frac{42}{r}\]

Теперь найдем значение косинуса 45°, это значение можно найти в таблице тригонометрических функций или с помощью калькулятора. Значение косинуса 45° равно \(\frac{\sqrt{2}}{2}\).

Подставляя это значение в уравнение, получим:
\[\frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{42}{r}\]

Для решения этого уравнения найдем значение радиуса \(r\):
\[r = \frac{42}{\frac{\sqrt{2}}{2}}\]

Чтобы упростить выражение в знаменателе, умножим и поделим его на \(\sqrt{2}\):
\[r = \frac{42 \cdot 2}{\sqrt{2}} = \frac{84}{\sqrt{2}}\]

Для удобства, умножим числитель и знаменатель на \(\sqrt{2}\):
\[r = \frac{84 \cdot \sqrt{2}}{2}\]

Теперь упростим числитель:
\[r = 42 \cdot \sqrt{2}\]

Итак, радиус описанной окружности треугольника равен \(42 \cdot \sqrt{2}\) см.