Какова высота равностороннего треугольника с длиной стороны?

Zagadochnyy_Pesok

52

Конечно! Чтобы определить высоту равностороннего треугольника, нам понадобится использовать формулу, которая связывает сторону треугольника и его высоту.

В случае равностороннего треугольника, все его стороны имеют одинаковую длину. Пусть длина одной стороны равна \(a\).

Высота треугольника — это отрезок, ведущий от вершины до основания и перпендикулярный этой основе. Если мы проведем такой отрезок, он разделит треугольник на два прямоугольных треугольника.

Теперь приступим к нахождению высоты треугольника.

Возьмем один из прямоугольных треугольников, которые образуются при проведении высоты, и обозначим его основание как \(b\) (половина стороны треугольника). Теперь мы можем применить теорему Пифагора для нахождения высоты треугольника:

\[\text{гипотенуза}^2 = \text{катет}^2 + \text{катет}^2\]

В равностороннем треугольнике, как мы знаем, все три стороны равны между собой, поэтому длина гипотенузы равна \(a\), а длина каждого катета равна \(b\).

Теперь мы можем записать уравнение:

\[a^2 = b^2 + b^2\]

Упростив это уравнение, получим:

\[a^2 = 2b^2\]

Разрешим это уравнение относительно \(b\):

\[b^2 = \frac{a^2}{2}\]

И теперь выразим высоту треугольника через сторону \(a\) и основание \(b\):

\[h = \sqrt{\frac{a^2}{4} - b^2}\]

Таким образом, высота равностороннего треугольника с длиной стороны \(a\) равна \(\sqrt{\frac{a^2}{4} - \frac{a^2}{2}}\).

Мы можем упростить это дальше:

\[h = \sqrt{\frac{a^2}{4} - \frac{2a^2}{4}}\]

\[h = \sqrt{\frac{-a^2}{4}}\]

Так как длина стороны треугольника не может быть отрицательной, нам нужно взять только положительное значение для высоты:

\[h = \frac{a}{2}\]

Таким образом, высота равностороннего треугольника равна половине длины его стороны.

Вот, мы получили ответ! Высота равностороннего треугольника со стороной \(a\) равна \(\frac{a}{2}\).