В параллелограмме ABCD, на стороне AB, имеется точка K такая, что AK:KB = 2:1. O - точка пересечения диагоналей

Щука

36

Для решения данной задачи, нам потребуется использовать свойства параллелограмма и знания о соотношении отрезков.

Вектор OC - это вектор, соединяющий точку O с точкой C. Рассмотрим, как можно выразить данный вектор через векторы AB и BC.

1. Вектор BC можно выразить через вектор AB следующим образом: \(\vec{BC} = \vec{AB}\).

2. Так как O - точка пересечения диагоналей, то вектор OC является их средней линией. Это значит, что вектор OC равен полусумме векторов BA и BD.

3. Вектор BA можно записать как \(\vec{BA} = -\vec{AB}\), так как векторы с противоположными направлениями имеют одинаковую длину.

4. Вектор BD также можно выразить через вектор AB и AK. Так как точка K находится на стороне AB и AK:KB = 2:1, то мы можем записать \(\vec{BD} = \frac{1}{3} \vec{AB}\), так как вектор AB делится в отношении 2:1.

5. Следовательно, вектор OC равен полусумме векторов BA и BD:
\(\vec{OC} = \frac{1}{2} \vec{BA} + \frac{1}{2} \vec{BD} = \frac{1}{2} (-\vec{AB}) + \frac{1}{2} \left(\frac{1}{3} \vec{AB}\right) = -\frac{1}{2} \vec{AB} + \frac{1}{6} \vec{AB}\).

6. Упростим выражение: \(\vec{OC} = -\frac{3}{6} \vec{AB} + \frac{1}{6} \vec{AB} = -\frac{2}{6} \vec{AB}\).

Таким образом, мы выразили вектор OC через вектор AB.

Перейдем к выражению вектора CK.

Вектор CK - это вектор, соединяющий точку C с точкой K. Мы знаем, что AK:KB = 2:1, поэтому можно записать AK = \(\frac{2}{3} \vec{AB}\) и KB = \(\frac{1}{3} \vec{AB}\).

Тогда вектор CK можно выразить как разность векторов AC и AK:
\(\vec{CK} = \vec{AC} - \vec{AK}\).

7. Вектор AC равен сумме векторов AB и BC:
\(\vec{AC} = \vec{AB} + \vec{BC} = \vec{AB} + \vec{AB} = 2\vec{AB}\).

8. Вектор AK равен \(\frac{2}{3}\) от вектора AB:
\(\vec{AK} = \frac{2}{3} \vec{AB}\).

9. Вектор CK тогда будет равен:
\(\vec{CK} = \vec{AC} - \vec{AK} = 2\vec{AB} - \frac{2}{3} \vec{AB} = \frac{6}{3}\vec{AB} - \frac{2}{3}\vec{AB} = \frac{4}{3}\vec{AB}\).

Таким образом, мы выразили вектор CK через вектор AB.

Ответ: \(\vec{OC} = -\frac{2}{6} \vec{AB}\) и \(\vec{CK} = \frac{4}{3}\vec{AB}\).