Чему равна длина стороны AC в треугольнике ABC, если сторона AB равна 7√2 сантиметров, угол B равен 60 градусов, а угол

Skvoz_Holmy

1

Для решения данной задачи воспользуемся теоремой синусов, которая устанавливает зависимость между сторонами треугольника и синусами его углов.

Согласно теореме синусов, отношение стороны треугольника к синусу противолежащего ей угла равно одинаково для всех сторон и углов.

В треугольнике ABC:
\[\frac{AB}{\sin(\angle B)} = \frac{BC}{\sin(\angle C)} = \frac{AC}{\sin(\angle A)}\]

Известно:
AB = 7√2 см
\(\angle B = 60^\circ\)
\(\angle C = 45^\circ\)

Заменим известные значения:
\[\frac{7\sqrt{2}}{\sin(60^\circ)} = \frac{BC}{\sin(45^\circ)} = \frac{AC}{\sin(\angle A)}\]

Поскольку sin(60°) = sin(45°) = √3/2, получаем:
\[\frac{7\sqrt{2}}{\frac{\sqrt{3}}{2}} = \frac{AC}{\sin(\angle A)}\]

Для дальнейшего решения нам потребуется выразить sin(\angle A). Поскольку сумма всех углов треугольника равна 180°, можем получить значение угла A:
\(\angle A = 180^\circ - \angle B - \angle C\)
\(\angle A = 180^\circ - 60^\circ - 45^\circ\)
\(\angle A = 75^\circ\)

Заменим полученное значение в уравнении:
\[\frac{7\sqrt{2}}{\frac{\sqrt{3}}{2}} = \frac{AC}{\sin(75^\circ)}\]

Теперь проведем вычисления:
\[\frac{7\sqrt{2} \cdot 2}{\sqrt{3}} = AC \cdot \frac{1}{\frac{\sqrt{2}+\sqrt{6}}{4}}\]
\[\frac{14\sqrt{2}}{\sqrt{3}} = AC \cdot \frac{4}{\sqrt{2}+\sqrt{6}}\]

Для удобства избавимся от корней в знаменателе, умножив числитель и знаменатель на \(\sqrt{2}\), и сократим двойку:
\[\frac{14\sqrt{4}}{\sqrt{3}\sqrt{2}\sqrt{2}} = AC \cdot \frac{4\sqrt{2}}{\sqrt{2}\sqrt{2}+\sqrt{6}\sqrt{2}}\]
\[\frac{28}{2\sqrt{3}} = AC \cdot \frac{4\sqrt{2}}{2+\sqrt{6}}\]
\[\frac{14}{\sqrt{3}} = AC \cdot \frac{4\sqrt{2}}{2+\sqrt{6}}\]

Далее, умножим обе части равенства на \(\frac{2+\sqrt{6}}{4\sqrt{2}}\):
\[\frac{14}{\sqrt{3}} \cdot \frac{2+\sqrt{6}}{4\sqrt{2}} = AC\]
\[\frac{7}{\sqrt{3}} \cdot \frac{2+\sqrt{6}}{2\sqrt{2}} = AC\]

Сократим общие множители:
\[\frac{7(2+\sqrt{6})}{2\sqrt{3}\sqrt{2}} = AC\]
\[\frac{7(2+\sqrt{6})}{2\sqrt{6}} = AC\]

Для дальнейшего упрощения, домножим числитель и знаменатель на \(\sqrt{6}\):
\[\frac{7(2+\sqrt{6}) \cdot \sqrt{6}}{2\sqrt{6} \cdot \sqrt{2}\sqrt{6}} = AC\]
\[\frac{7(2\sqrt{6}+\sqrt{6}\sqrt{6})}{2\sqrt{6}\sqrt{2}} = AC\]
\[\frac{7(2\sqrt{6}+6)}{2\sqrt{6}\sqrt{2}} = AC\]

Продолжим упрощение:
\[\frac{7(2\sqrt{6}+6)}{2\sqrt{6}\sqrt{2}} = AC\]
\[\frac{7(2(\sqrt{6}+3))}{2(\sqrt{6})(\sqrt{2})} = AC\]
\[\frac{7(\sqrt{6}+3)}{\sqrt{6}\sqrt{2}} = AC\]
\[\frac{7(\sqrt{6}+3)}{\sqrt{6\cdot 2}} = AC\]
\[\frac{7(\sqrt{6}+3)}{\sqrt{12}} = AC\]
\[\frac{7(\sqrt{6}+3)}{2\sqrt{3}} = AC\]

Окончательный ответ:
\[AC = \frac{7(\sqrt{6}+3)}{2\sqrt{3}}\]