Каково расстояние от центра окружности О до хорды АС, если ВС равно 10? Объясните, пожалуйста

Amina

64

Хорда AC, проходящая через центр окружности O, делит ее на две равные части. Давайте рассмотрим треугольник OBC, где O - центр окружности, B - середина хорды AC, а C - один из концов хорды AC.

Так как BC - это половина хорды AC, то BC = 10/2 = 5.

Чтобы найти расстояние от центра окружности O до хорды AC, нам понадобится высота треугольника OBC, проведенная из вершины O до основания BC. Обозначим это расстояние как h.

Треугольник OBC - это прямоугольный треугольник, так как радиус окружности, проведенный к хорде, перпендикулярен хорде. Поэтому мы можем использовать теорему Пифагора.

Строим перпендикуляр OD, где D - середина BC.

Так как BD - это половина BC, то BD = 5/2 = 2.5.

Мы знаем, что OB - это радиус окружности, поэтому OB - это постоянное значение и обозначим его как r.

Применим теорему Пифагора к треугольнику OBD:

\[OB^2 = OD^2 + BD^2.\]

Раскроем скобки:

\[OB^2 = (h + r)^2 + \left(\frac{r}{2}\right)^2.\]

Раскроем квадраты:

\[OB^2 = h^2 + 2hr + r^2 + \frac{r^2}{4}.\]

Объединим подобные слагаемые:

\[OB^2 = h^2 + 2hr + \frac{5r^2}{4}.\]

Так как OB^2 - это постоянное значение, то это выражение может быть записано как:

\[c = h^2 + 2hr + \frac{5r^2}{4}.\]

где c - константа.

Теперь мы можем найти хорду AC, используя известные значения OB, BC и OD:

\[h = \sqrt{c - 2hr - \frac{5r^2}{4}}.\]

Вернемся к исходной задаче. Мы знаем, что BC = 5 и AC = 10. Также мы можем считать OD = 2.5, так как он является половиной BC.

Подставим известные значения в выражение для h:

\[h = \sqrt{c - 2r\cdot2.5 - \frac{5r^2}{4}}.\]

Теперь у нас есть уравнение с одной неизвестной - r, радиус окружности. Мы можем решить его, заменив известные значения и нахождения значения r.