Каков радиус планеты, у которой первая космическая скорость составляет 12 км/с, а ускорение свободного падения равно

Паровоз

57

Чтобы решить данную задачу, мы можем использовать законы движения тела в свободном падении. Первая космическая скорость - это минимальная скорость, необходимая для покидания планеты без дополнительного ускорения. Искомый радиус можно рассчитать, используя следующие формулы:

1. \( v = \sqrt{2gR} \), где \( v \) - скорость, \( g \) - ускорение свободного падения, \( R \) - радиус планеты.

Мы знаем, что первая космическая скорость \( v = 12 \) км/с и ускорение свободного падения \( g = 15 \) м/с\(^2\).

Сначала нужно преобразовать первую космическую скорость в метры в секунду:

\[ v = 12 \cdot 1000 = 12000 \, \text{м/с} \]

Теперь мы можем подставить известные значения в формулу:

\[ 12000 = \sqrt{2 \cdot 15 \cdot R} \]

2. Возводим обе части уравнения в квадрат:

\[ (12000)^2 = 2 \cdot 15 \cdot R \]

3. Решаем полученное уравнение:

\[ 144000000 = 30R \]

\[ R = \frac{144000000}{30} \]

\[ R = 4,800,000 \, \text{м} \]

4. Чтобы выразить результат в километрах, нужно поделить полученное значение на 1000:

\[ R = \frac{4800000}{1000} = 4800 \, \text{км} \]

Таким образом, радиус планеты составляет 4800 км.