Каков радиус сферы, если известны координаты точек E (1,3,1) и C(3,10,3), а отрезок EC является диаметром сферы?

Son

3

Для начала определим центр сферы, так как отрезок EC является диаметром сферы, то центр сферы будет находиться посередине отрезка EC. Чтобы найти координаты центра, сложим соответствующие координаты точек E и C и поделим полученную сумму на 2.

Координаты центра сферы:
\[ \begin{cases} x = \frac{1 + 3}{2} = 2 \\ y = \frac{3 + 10}{2} = 6.5 \\ z = \frac{1 + 3}{2} = 2 \end{cases} \]

Таким образом, центр сферы имеет координаты (2, 6.5, 2).

Теперь найдем радиус сферы. Радиус сферы равен половине длины диаметра, то есть расстоянию между точками E и C. Для этого воспользуемся формулой для расстояния между двумя точками в пространстве:

\[ d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2 + (z_2 - z_1)^2} \]

Подставим координаты точек E(1,3,1) и C(3,10,3):
\[ d = \sqrt{(3 - 1)^2 + (10 - 3)^2 + (3 - 1)^2} \]
\[ d = \sqrt{2^2 + 7^2 + 2^2} \]
\[ d = \sqrt{4 + 49 + 4} = \sqrt{57} \]

Следовательно, радиус сферы равен половине этого значения:
\[ r = \frac{\sqrt{57}}{2} \]

Теперь мы можем записать уравнение сферы, зная координаты центра (2, 6.5, 2) и радиус сферы \( r = \frac{\sqrt{57}}{2} \):
\[ (x - 2)^2 + (y - 6.5)^2 + (z - 2)^2 = (\frac{\sqrt{57}}{2})^2 \]

Уравнение сферы:
\[ (x - 2)^2 + (y - 6.5)^2 + (z - 2)^2 = \frac{57}{4} \]