Каков радиус шара, если угол между конусом и его высотой составляет 45°, а расстояние от центра вписанного в конуса

Pechenka

46

Давайте решим эту задачу вместе:

У нас есть конус, вписанный в шар. Угол между конусом и его высотой составляет 45°, а расстояние от центра вписанного в конус шара до вершины конуса равно \(h\). Нам нужно найти радиус шара.

Для начала, давайте визуализируем нашу задачу. Мы можем представить конус, вписанный в шар, как трехмерную фигуру.

Когда мы находилися в трехмерном пространстве, мы видим, что расстояние от центра шара до вершины конуса является высотой нашего конуса. Давайте обозначим это расстояние как \(h\).

Теперь обратим наше внимание на угол между конусом и его высотой. Мы знаем, что этот угол равен 45°. Это означает, что половина угла, образованного между высотой и образующей конуса, составляет 22.5°.

Теперь вспомним геометрическое свойство конуса, которое гласит, что радиус поверхности конуса всегда перпендикулярен к образующей конуса в точке касания. Это означает, что половинка угла между высотой и образующей является прямым углом для радиуса шара.

Раз угол равен 22.5°, прямой угол равен 90°, то общий угол острого треугольника составляет 112.5°. По свойству треугольника, сумма углов острого треугольника всегда равна 180°.

Мы знаем, что сумма углов острого треугольника равна 180°, и два известных угла составляют 112.5°. Давайте найдем последний угол острого треугольника, проще всего сделать это вычитанием:

\(180° - 112.5° = 67.5°\)

Теперь мы знаем все три угла острого треугольника.

Так как у нас есть прямой угол и два острых, мы можем использовать тангенс для нахождения радиуса шара. Отношение противолежащей стороны (радиус шара) к прилежащей стороне (высота конуса) равно тангенсу острого угла:

\[\tan(67.5°) = \frac{r}{h}\]

Теперь мы хотим найти радиус шара \(r\), поэтому давайте перепишем уравнение, решая его для \(r\):

\[r = h \times \tan(67.5°)\]

Таким образом, радиус шара можно найти, умножив высоту конуса на тангенс 67.5°.

Я надеюсь, что это пошаговое решение поможет школьнику понять, как найти радиус шара в данной задаче. Если у вас есть какие-либо дополнительные вопросы, не стесняйтесь задавать!