Каков радиус шара, который был опущен в бак с формой правильной треугольной призмы, содержащей 1536 см3 раствора

Барсик

69

Для решения данной задачи, нам понадобятся знания о формуле для объема шара \(V = \frac{4}{3}\pi r^3\) и формуле для объема правильной треугольной призмы \(V = \frac{1}{2}a \cdot b \cdot h\), где \(a\) и \(b\) - длины сторон треугольника, а \(h\) - высота призмы.

В данной задаче у нас есть объем раствора, равный 1536 см³, и изменение уровня раствора, равное 24 см.

Первым шагом найдем площадь основания призмы. Обратимся к треугольнику, в который вписана правильная треугольная призма. Площадь такого треугольника можно найти по формуле Герона:

\[S = \sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}\]

где \(p\) - полупериметр треугольника, \(a\), \(b\), \(c\) - стороны треугольника.

Зная, что треугольник правильный, все его стороны равны. Поэтому формулу можно упростить:

\[S = \sqrt{\frac{3a}{2} \cdot \frac{a}{2} \cdot \frac{a}{2} \cdot \frac{a}{2}} = \frac{a^2\sqrt{3}}{4}\]

Теперь найдем площадь основания призмы:

\[S_{\text{осн}} = \frac{a^2\sqrt{3}}{4}\]

Используя формулу для объема треугольной призмы:

\[V = S_{\text{осн}} \cdot h\]

Подставляем известные значения:

\[1536 = \frac{a^2\sqrt{3}}{4} \cdot h\]

Далее, найдем высоту призмы \(h\):

\[h = \frac{1536 \cdot 4}{a^2\sqrt{3}}\]

Теперь можем перейти к нахождению радиуса шара. Радиус шара определен как половина длины стороны основания призмы.

\[r = \frac{a}{2}\]

Подставим выражение для \(a\) и найдем радиус шара:

\[r = \frac{1}{2} \cdot \frac{1536 \cdot 4}{a^2\sqrt{3}}\]

Нам остается найти значение \(a\). Для этого воспользуемся информацией об изменении уровня раствора. Из условия задачи следует, что при опущении шара в бак, уровень раствора повысился на 24 см.

Так как шар полностью погружен в раствор, то изменение уровня раствора связано с объемом шара:

\[24 = \frac{4}{3}\pi r^3\]

Теперь у нас есть уравнение с одной неизвестной (\(r\)). Решим его:

\[r^3 = \frac{3}{4\pi} \cdot 24\]

\[r = \sqrt[3]{\frac{3 \cdot 24}{4\pi}}\]

Для нахождения численного значения радиуса воспользуемся приближенными значениями для числа \(\pi\) (примерно 3.14):

\[r \approx \sqrt[3]{\frac{3 \cdot 24}{4 \cdot 3.14}}\]

\[r \approx 2.94\]

Таким образом, радиус шара, который был опущен в бак с формой правильной треугольной призмы и вызвал поднятие уровня раствора с 24 см до 1536 см³, составляет примерно 2.94 см.