Каков радиус вписанного круга в равнобедренном треугольнике ABC, если медиана AK равна 22 см и биссектриса угла B делит

Lelya

22

Для начала, давайте разберемся, что такое вписанный круг в треугольнике. Вписанный круг - это круг, который касается всех трех сторон треугольника.

Пусть радиус вписанного круга равен \(r\). Медиана AK делит медиану BK пополам, значит, медиана BK также равна 22 см.

По свойству медианы в равнобедренном треугольнике, медиана является биссектрисой и высотой, ведущей из вершины равнобедренного треугольника. А так как BK является медианой, она делит основание AC на две равные части, то есть отношение AC к BK также будет 3:5.

Используем эту информацию для нахождения длины основания AC. Обозначим длину AC как \(x\), тогда отношение можно записать в виде уравнения:

\(\frac{AC}{BK} = \frac{3}{5}\)

\(\frac{x}{22} = \frac{3}{5}\)

Решим это уравнение для нахождения \(x\):

\(5x = 22 \cdot 3\)

\(5x = 66\)

\(x = \frac{66}{5}\)

Таким образом, длина основания AC равна \(\frac{66}{5}\) см.

Теперь, нам нужно найти высоту треугольника. Высота треугольника - это отрезок, опущенный из вершины треугольника на основание и перпендикулярный ему. В нашем случае, это отрезок BK.

Зная длины основания AC и медианы BK, мы можем использовать теорему Пифагора для нахождения высоты треугольника:

\(BK^2 = AK^2 - AB^2\)

Подставим известные значения:

\(22^2 = AK^2 - \left(\frac{x}{2}\right)^2\)

\(484 = AK^2 - \frac{x^2}{4}\)

\(AK^2 = 484 + \frac{x^2}{4}\)

\(AK^2 = \frac{4 \cdot 484 + x^2}{4}\)

Теперь, выразим AK через радиус вписанного круга \(r\):

\(AK = 2r\)

Подставим это выражение в предыдущее уравнение:

\((2r)^2 = \frac{4 \cdot 484 + x^2}{4}\)

\(4r^2 = \frac{4 \cdot 484 + x^2}{4}\)

Упростим это уравнение:

\(16r^2 = 4 \cdot 484 + x^2\)

\(16r^2 = 1936 + x^2\)

Таким образом, у нас есть два уравнения:

\(\frac{x}{22} = \frac{3}{5}\) - (1)

\(16r^2 = 1936 + x^2\) - (2)

Теперь, решим эти уравнения для нахождения радиуса вписанного круга.

Из уравнения (1) найдем \(x\):

\(x = \frac{3}{5} \cdot 22\)

\(x = \frac{66}{5}\)

Теперь, подставим эту найденную длину основания \(x\) в уравнение (2):

\(16r^2 = 1936 + \left(\frac{66}{5}\right)^2\)

\(16r^2 = 1936 + \frac{4356}{25}\)

\(16r^2 = \frac{1936 \cdot 25 + 4356}{25}\)

\(16r^2 = \frac{48400 + 4356}{25}\)

\(16r^2 = \frac{52756}{25}\)

\(r^2 = \frac{52756}{25 \cdot 16}\)

\(r^2 = \frac{52756}{400}\)

\(r^2 = 131.89\)

\(r = \sqrt{131.89}\)

\(r \approx 11.5\) (округляем до десятых)

Таким образом, радиус вписанного круга в равнобедренном треугольнике ABC примерно равен 11.5 см.