Каков радиус вписанной окружности четырехугольника, если известно, что площадь равнобедренной трапеции составляет

Putnik_Po_Vremeni_7291

3

Чтобы найти радиус вписанной окружности четырехугольника, мы можем использовать формулу площади равнобедренной трапеции и формулу для площади треугольника, образованного радиусом, вписанной окружностью и сторонами равнобедренной трапеции.

Дано, что площадь равнобедренной трапеции составляет 128 см². Пусть основания трапеции равны \( a \) и \( b \), а высота трапеции равна \( h \). Тогда формула для площади равнобедренной трапеции выглядит следующим образом:

\[ S = \frac{{(a + b) \cdot h}}{2} \]

Так как площадь треугольника, образованного радиусом вписанной окружности, равна половине площади равнобедренной трапеции, то площадь этого треугольника равна \( \frac{{128}}{2} = 64 \) см².

Пусть радиус вписанной окружности равен \( r \). Тогда основание треугольника, образованного радиусом и стороной равнобедренной трапеции, равно \( a \), а второе основание треугольника равно \( b \). Подставляя полученные значения в формулу для площади треугольника, получаем:

\[ 64 = \frac{{(a + b) \cdot r}}{2} \]

Заметим, что треугольник, образованный радиусом, является прямоугольным, так как один из углов равен 30°. Поэтому \( a = 2r \) и \( b = 2r \cdot \tan{30°} \).

Подставляя эти значения в уравнение площади треугольника, получаем:

\[ 64 = \frac{{(2r + 2r \cdot \tan{30°}) \cdot r}}{2} \]

Упрощая выражение, получаем:

\[ 64 = (r + r \cdot \tan{30°}) \cdot r \]

Выразим \( \tan{30°} \) через рациональную формулу:

\[ \tan{30°} = \frac{{\sin{30°}}}{{\cos{30°}}} = \frac{{\frac{1}{2}}}{{\frac{\sqrt{3}}{2}}} = \frac{1}{\sqrt{3}} \]

Подставляя это значение в уравнение, получаем:

\[ 64 = (r + r \cdot \frac{1}{\sqrt{3}}) \cdot r \]

\[ 64 = \frac{{r(\sqrt{3} + 1)}}{\sqrt{3}} \cdot r \]

Домножая обе части уравнения на \( \sqrt{3} \), получаем:

\[ 64 \sqrt{3} = r(\sqrt{3} + 1) \cdot r \]

\[ 64 \sqrt{3} = r^2(\sqrt{3} + 1) \]

Для решения уравнения выразим \( r^2 \) через \( r \):

\[ r^2 = \frac{{64 \sqrt{3}}}{{\sqrt{3} + 1}} \]

Вынесем \( \sqrt{3} \) за скобку в числителе:

\[ r^2 = \frac{{64 \cdot \sqrt{3} \cdot (\sqrt{3} - 1)}}{{(\sqrt{3} + 1)(\sqrt{3} - 1)}} \]

\[ r^2 = \frac{{64 \cdot \sqrt{3} \cdot (\sqrt{3} - 1)}}{{3 - 1}} \]

\[ r^2 = \frac{{64 \cdot \sqrt{3} \cdot (\sqrt{3} - 1)}}{2} \]

Сокращаем 64 и 2:

\[ r^2 = 32 \cdot \sqrt{3} \cdot (\sqrt{3} - 1) \]

Упрощаем подкоренное выражение:

\[ r^2 = 32 \cdot 3 - 32 \]

\[ r^2 = 96 - 32 \]

\[ r^2 = 64 \]

Возведем обе части уравнения в квадратный корень:

\[ r = \sqrt{64} \]

\[ r = 8 \]

Таким образом, радиус вписанной окружности четырехугольника равен 8 см.