Каков размеры сторон прямоугольника, если его диагональ на 8 см больше одной из сторон и на 1 см больше другой?
Каков размеры сторон прямоугольника, если его диагональ на 8 см больше одной из сторон и на 1 см больше другой? При каком значении р уравнение 4х в квадрате - 8х + р имеет решение?
Schuka 10
Для решения первой задачи, будем использовать теорему Пифагора.У нас есть прямоугольник, у которого одна сторона больше другой на 1 см. Обозначим эти стороны как \(x\) и \(x+1\) см соответственно.
Мы также знаем, что диагональ прямоугольника на 8 см больше одной из его сторон. Обозначим эту сторону как \(y\) см. Тогда диагональ равна \(y+8\) см.
По теореме Пифагора, в прямоугольном треугольнике с гипотенузой \(y+8\) и катетами \(x\) и \(x+1\) выполняется следующее уравнение:
\[(x)^2 + (x+1)^2 = (y+8)^2\]
Разложим это уравнение:
\[x^2 + (x+1)^2 = y^2 + 16y + 64\]
\[x^2 + x^2 + 2x + 1 = y^2 + 16y + 64\]
\[2x^2 + 2x + 1 = y^2 + 16y + 64\]
После переноса всех членов уравнения в одну сторону, получим:
\[2x^2 + 2x - y^2 - 16y + 63 = 0\]
Теперь рассмотрим вторую задачу.
У нас есть квадратное уравнение \(4x^2 - 8x + р\). Чтобы найти значение \(р\), при котором это уравнение имеет решение, нужно использовать дискриминант, который определяется по формуле:
\[D = b^2 - 4ac\]
В нашем случае \(a = 4\), \(b = -8\) и \(c = р\).
После подстановки значений в формулу дискриминанта имеем:
\[D = (-8)^2 - 4 \cdot 4 \cdot р\]
Уравнение имеет решение, если \(D\) неотрицателен (то есть \(D \geq 0\)). Подставим значения и решим неравенство:
\[64 - 16р \geq 0\]
Для решения неравенства нужно выразить \(р\) и проверить, при каких значениях оно будет выполняться.
\[\frac{1}{16} \cdot 64 \geq р\]
\[р \leq 4\]
Таким образом, уравнение \(4x^2 - 8x + р\) имеет решение при \(р \leq 4\).
Надеюсь, эти пошаговые решения помогут вам понять и решить данные задачи. Если у вас возникнут ещё вопросы, пожалуйста, не стесняйтесь задать их!