Каков результат двойного интеграла int int x^{2}y ,dx ,dy по прямоугольнику2 le x le 4 1 le y le 2? a. 36 b. 28

Shumnyy_Popugay

40

Для решения данной задачи, нам необходимо вычислить двойной интеграл от функции \(x^2y\) по заданному прямоугольнику. Давайте посмотрим на каждый шаг решения более подробно:

Шаг 1: Запишем интеграл в заданной форме:
\[
\int \int x^{2}y\,dx\,dy
\]

Шаг 2: Возьмем первый интеграл от \(x\) внутри предела от \(2\) до \(4\):
\[
\int_{2}^{4} \left( \int yx^{2}\,dx \right) \,dy
\]

Шаг 3: Вычислим интеграл от \(yx^{2}\) по переменной \(x\):
\[
\int_{2}^{4} \left[ \frac{1}{3}yx^{3} \right]_{2}^{4} \,dy
\]

Шаг 4: Подставим верхний предел в выражение и вычислим значение:
\[
\int_{2}^{4} \left( \frac{1}{3}y(4)^{3} \right) \,dy
\]

Далее упростим и продолжим:

\[
\int_{2}^{4} \left( \frac{1}{3}y \cdot 64 \right) \,dy
\]

\[
\frac{64}{3} \int_{2}^{4} y \,dy
\]

\[
\frac{64}{3} \left[ \frac{1}{2}y^{2} \right]_{2}^{4}
\]

\[
\frac{64}{3} \left( \frac{1}{2}(4)^{2} - \frac{1}{2}(2)^{2} \right)
\]

\[
\frac{64}{3} \left( \frac{1}{2}(16) - \frac{1}{2}(4) \right)
\]

\[
\frac{64}{3} \cdot \frac{24}{2}
\]

\[
\frac{64}{3} \cdot 12
\]

\[
\frac{768}{3}
\]

\[
256
\]

Таким образом, результат двойного интеграла равен 256.

Ответ: b. 28